Контрольная работа Предел функции

Предел функции в конечной точке x0

 
Определение 1. Окрестностью точки x0 называется любой интервал, содержащий точку x0:

.

Определение 2. d-Окрестностью точки x0 называется интервал (; ), длина которого 2d, симметричный относительно x0:

Определение 3. Проколотой d-окрестностью точки x0 называется d-окрестность точки x0 без самой точки x0:

Определение 4. Число А называется пределом функции f(x) при x ® x0, если для любого малого числа ε > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой δ-окрестности точки x0, т.е. , выполняется неравенство: .

Итак:   и .

Односторонние пределы

Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех  и лежащих в правой (левой) окрестности точки x0, т.е. , справедливо неравенство: .

При этом используют следующие обозначения:

  – для правого предела.

– для левого предела.

Замечание 1. Если f(x) имеет в точке x0, предел равный А, то существуюти  и справедливо равенство:

.

Замечание 2. Если f(x) имеет в точке x0 правый  и левый  пределы, равные между собой, то в точке   функция f(x) имеет предел, равный числу:

.

Замечание 3. Если f(x) имеет в точке x0 правый  и левый  пределы, но они не равны между собой, то в точке x0 функция f(x) не имеет предела.

Предел функции на бесконечности

Определение 6. Окрестностью бесконечно удалённой точки называют множество значений x, удовлетворяющих неравенству , где N достаточно большое положительное число.

Определение 7. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого малого числа ε > 0 существует другое большое число  – такое, что для любого  удовлетворяющего неравенству выполняется неравенство . Этот факт

записывают: .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 8. Функция a(x) называется бесконечно малой при x ® x0 или в точке , если предел a(x) при x® равен нулю: .

Определение 9. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке , если предел f(x) при x ® x0 равен ∞. Это значит, что для любого сколь угодно большого числа M > 0 существует малое число δ = δ(M) > 0 такое, что для любого  удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство |f(x)| > M.

Определение 10. Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве X Ì D(f), если существует такое число M > 0, что для любого x Î X выполняется неравенство |f(x)| < M.

Основные свойства бесконечно малых функций

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций в точке   есть бесконечно малая функция в этой точке , т.е. если  – бесконечно малые функции в точке , то   – бесконечно малая функция в этой точке .

2) Произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в точке , т.е. если  – бесконечно малые функции в точке , то  – бесконечно малая функция в этой точке .

3) Произведение бесконечно малой функции в точке  на ограниченную функцию в некоторой окрестности точки  есть бесконечно малая функция в точке, т. е. если α(x) бесконечно малая функция в точке  и f(x) ограниченная в некоторой окрестности точки , то α(x)×f(x) – бесконечно малая функция в точке.

Следствие из свойства 3). Произведение постоянной c на бесконечно малую функцию α(x) в точке есть бесконечно малая функция в точке, т.е. если α(x) – бесконечно малая функция в точке , то с×α(x) – бесконечно малая функция в точке x0.

Теорема (о связи между бесконечно малой функцией в точке x0 и бесконечно большой функцией в точке x0)

Если функция f(x) является бесконечно большой в точке , то функция  является бесконечно малой в точке . (Верно и обратное утверждение)

Основные теоремы о конечных пределах

Теорема 1. Функция f(x) имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке .

Доказательство этой теоремы вытекает из определения предела функции в точке и определения бесконечно малой функции в точке.

Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует конечный предел суммы этих функций в точке , равный сумме пределов этих функций.

Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1 f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке x0. Пусть , тогда по теореме 1g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке x0. Рассмотрим сумму этих функций:

  f(x) + g(x) = A + a(x) + B + β(x) = (A+B) + a(x) + β(x).

Обозначим γ(x) = a(x) + β(x) – бесконечно малая функция в точке x0 (по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f(x) + g(x)=A + B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует предел произведения этих функций в точке, равный произведению пределов этих функций.

Доказательство: Пусть, тогда по теореме 1: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке . Пусть , тогда по теореме 1: g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке . Рассмотрим произведение этих функций:

f(x) × g(x) = (А +a(x))(B + β(x)) = A×B + B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x).

Обозначим: B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x) = γ(x), где γ(x) – бесконечно малая функция в точке  (по свойствам бесконечно малых функций). Получим: f(x)×g(x) = A×B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 4. Если существуют конечные пределы f(x) и g(x), причём , то существует предел частного этих функций  в точке , равный частному пределов этих функций, т. е.: если существует  и существует ,  B ≠ 0, то существует

  (доказать самостоятельно).

Теорема 5 (о пределе трёх функций). Если существуют равные конечные пределы функций f(x) и g(x) в точке:

и при стремлении x к x0 выполняется неравенство:

  φ(x)

то существует  φ(x), равный А.

Доказательство: Возьмем любое e > 0. Вычитая из всех частей двойного неравенства, данного в условии, число A, получим

  φ(x)  (*)

Так как

,

то найдётся такое d1, что для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию

,

будет верно неравенство

,

или, что то же,

  (*)

Аналогично для функции g(x) найдётся такое d2, что для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию

,

будет верно неравенство

 . (*)

Из неравенств, отмеченных (*), следует, что

 φ(x),

или, что то же самое 

|φ(x)

для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию , где d – меньшее из d1 и d2. Это означает, что

φ(x).

Теорема доказана.

Решение типового варианта контрольной работы по математике