Контрольная работа Предел функции

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Предел функции в конечной точке x0

     
    Определение 1. Окрестностью точки x0 называется любой интервал, содержащий точку x0:

    .

    Определение 2. d-Окрестностью точки x0 называется интервал (; ), длина которого 2d, симметричный относительно x0:

    Определение 3. Проколотой d-окрестностью точки x0 называется d-окрестность точки x0 без самой точки x0:

    Определение 4. Число А называется пределом функции f(x) при x ® x0, если для любого малого числа ε > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой δ-окрестности точки x0, т.е. , выполняется неравенство: .

    Итак:   и .

    Односторонние пределы

    Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех  и лежащих в правой (левой) окрестности точки x0, т.е. , справедливо неравенство: .

    При этом используют следующие обозначения:

      – для правого предела.

    – для левого предела.

    Замечание 1. Если f(x) имеет в точке x0, предел равный А, то существуюти  и справедливо равенство:

    .

    Замечание 2. Если f(x) имеет в точке x0 правый  и левый  пределы, равные между собой, то в точке   функция f(x) имеет предел, равный числу:

    .

    Замечание 3. Если f(x) имеет в точке x0 правый  и левый  пределы, но они не равны между собой, то в точке x0 функция f(x) не имеет предела.

    Предел функции на бесконечности

    Определение 6. Окрестностью бесконечно удалённой точки называют множество значений x, удовлетворяющих неравенству , где N достаточно большое положительное число.

    Определение 7. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого малого числа ε > 0 существует другое большое число  – такое, что для любого  удовлетворяющего неравенству выполняется неравенство . Этот факт

    записывают: .

    Бесконечно малые и бесконечно большие функции

    Определение 8. Функция a(x) называется бесконечно малой при x ® x0 или в точке , если предел a(x) при x® равен нулю: .

    Определение 9. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке , если предел f(x) при x ® x0 равен ∞. Это значит, что для любого сколь угодно большого числа M > 0 существует малое число δ = δ(M) > 0 такое, что для любого  удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство |f(x)| > M.

    Определение 10. Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве X Ì D(f), если существует такое число M > 0, что для любого x Î X выполняется неравенство |f(x)| < M.

    Основные свойства бесконечно малых функций

    1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций в точке   есть бесконечно малая функция в этой точке , т.е. если  – бесконечно малые функции в точке , то   – бесконечно малая функция в этой точке .

    2) Произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в точке , т.е. если  – бесконечно малые функции в точке , то  – бесконечно малая функция в этой точке .

    3) Произведение бесконечно малой функции в точке  на ограниченную функцию в некоторой окрестности точки  есть бесконечно малая функция в точке, т. е. если α(x) бесконечно малая функция в точке  и f(x) ограниченная в некоторой окрестности точки , то α(x)×f(x) – бесконечно малая функция в точке.

    Следствие из свойства 3). Произведение постоянной c на бесконечно малую функцию α(x) в точке есть бесконечно малая функция в точке, т.е. если α(x) – бесконечно малая функция в точке , то с×α(x) – бесконечно малая функция в точке x0.

    Теорема (о связи между бесконечно малой функцией в точке x0 и бесконечно большой функцией в точке x0)

    Если функция f(x) является бесконечно большой в точке , то функция  является бесконечно малой в точке . (Верно и обратное утверждение)

    Основные теоремы о конечных пределах

    Теорема 1. Функция f(x) имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке .

    Доказательство этой теоремы вытекает из определения предела функции в точке и определения бесконечно малой функции в точке.

    Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует конечный предел суммы этих функций в точке , равный сумме пределов этих функций.

    Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1 f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке x0. Пусть , тогда по теореме 1g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке x0. Рассмотрим сумму этих функций:

      f(x) + g(x) = A + a(x) + B + β(x) = (A+B) + a(x) + β(x).

    Обозначим γ(x) = a(x) + β(x) – бесконечно малая функция в точке x0 (по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f(x) + g(x)=A + B + γ(x).

    По теореме 1: .

    Теорема доказана.

    Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует предел произведения этих функций в точке, равный произведению пределов этих функций.

    Доказательство: Пусть, тогда по теореме 1: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке . Пусть , тогда по теореме 1: g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке . Рассмотрим произведение этих функций:

    f(x) × g(x) = (А +a(x))(B + β(x)) = A×B + B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x).

    Обозначим: B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x) = γ(x), где γ(x) – бесконечно малая функция в точке  (по свойствам бесконечно малых функций). Получим: f(x)×g(x) = A×B + γ(x).

    По теореме 1: .

    Теорема доказана.

    Теорема 4. Если существуют конечные пределы f(x) и g(x), причём , то существует предел частного этих функций  в точке , равный частному пределов этих функций, т. е.: если существует  и существует ,  B ≠ 0, то существует

      (доказать самостоятельно).

    Теорема 5 (о пределе трёх функций). Если существуют равные конечные пределы функций f(x) и g(x) в точке:

    и при стремлении x к x0 выполняется неравенство:

      φ(x)

    то существует  φ(x), равный А.

    Доказательство: Возьмем любое e > 0. Вычитая из всех частей двойного неравенства, данного в условии, число A, получим

      φ(x)  (*)

    Так как

    ,

    то найдётся такое d1, что для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию

    ,

    будет верно неравенство

    ,

    или, что то же,

      (*)

    Аналогично для функции g(x) найдётся такое d2, что для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию

    ,

    будет верно неравенство

     . (*)

    Из неравенств, отмеченных (*), следует, что

     φ(x),

    или, что то же самое 

    |φ(x)

    для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию , где d – меньшее из d1 и d2. Это означает, что

    φ(x).

    Теорема доказана.

    Решение типового варианта контрольной работы по математике