Контрольная работа Предел функции

Первый замечательный предел

Теорема 6. Предел функции  в точке  существует и равен 1, т.е..

Доказательство:

Пусть угол x > 0 (x ). Площади соотносятся:

  (1)

;  ; ,

где угол х в радианах.

Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей:

,

,

  Так как все части двойного неравенства положительные, выражение можно переписать так:

Так как  то по теореме 5:

.

Пусть x < 0 (x )

(по доказанному в первом случае). Следовательно,

.

Теорема доказана.

Второй замечательный предел

Теорема 7. Предел функции  при xсуществует и равен числу e, т.е.

.

Замечание. Число e является пределом последовательности, причем это число иррациональное, т.е. представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: e = 2,7182818284590… . Более того, число e трансцендентное, т.е. не является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. В математическом анализе это число играет особую роль, в частности, является основанием натурального логарифма. Показательная функция с основанием e: , называется экспонентой.

Модификация второго замечательного предела

т.е.

.

Как обмануть антиплагиат на сайте no-antiplagiat.ru.
Решение типового варианта контрольной работы по математике