Контрольная работа Предел функции

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Непрерывность функции в точке и на промежутке

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x0 и предел f(x) в точке x0 равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Замечание. Из определения 1 следует правило вычисления предела функции в точке её непрерывности:

т.е. предел функции в точке её непрерывности равен значению функции в этой точке.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е. .

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует правый и левый предел f(x) в точке, причём они равны между собой и равны значению функции в этой точке, т.е.

а) ;

б) ;

в) .

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 8. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то функции с×f(x) (c=const), f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и  (если g(x) ¹ 0) также непрерывны в точке x0.

Теорема 9. Если функция u = u(x) непрерывна в точке x0 и функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = u(x0), то сложная функция y = f(u(x)) непрерывна в точке x0.

Теорема 10. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения.

Точки разрыва функции и их классификация

Определение 5. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы одно из условий определения 3 непрерывности f(x).

Определение 6. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но f(x) в точке x0 либо не определена, либо имеет значение f(x0), не совпадающее с найденным пределом:

f(x0 – 0) = f(x0 + 0) ¹ f(x0).

Определение 7. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, т.е.

f(x0 – 0) ¹ f(x0 + 0).

Определение 8. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность и точки разрыва.

1.

Решение. На промежутке (–∞; –1) , на промежутке (–1;1) и на промежутке (1;+∞) .

На этих промежутках элементарная функция f(x) непрерывна при всех x, принадлежащих этим промежуткам. Необходимо проверить непрерывность в точках x = –1 и x = 1.

2)

Получили, что f(–1–0) ¹ f(–1+0) => x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.

3)

4)

Получили, что f(1 – 0) = f(1 + 0) = f(1) = 0 => x = 1 – точка непрерывности функции f(x).

Ответ: f(x) непрерывна на промежутках (–∞;–1) и на (–1;+∞), точка x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.

2. f(x) =

Решение. На промежутках (–∞;0) и на (0;+∞) функция f(x) непрерывна. Исследуем точку x = 0 Ï D(f).

  x = 0 – точка разрыва функции f(x) II рода.

Решение типового варианта контрольной работы по математике