Контрольная работа ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение производной, её геометрический и механический смысл

Пусть дана функция , определённая на множестве D(f). Рассмотрим точку xÎD(f) и некоторое число Dx – такое, чтобы точка x+DxÎD(f). Это число Dx называется приращением аргумента x.

Определение 1. Приращением функции  называется разность f(x+Dx) – f(x). Приращение функции  обозначают Dy, т.е. Dy = f(x+Dx) – f(x).

Определение 2. Производной функции  называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции  обозначают: или . Поэтому можно записать:

Пример. Исходя из определения найти производную функции у =.

Решение.

 Dy= f(x+ Dx) – f(x) = =.

.

Ответ: .

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S = S(t),

тогда DS = S(t+Dt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Dt и средняя скорость движения:

.

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел   при Dt ® 0:

V(t) = .

Следовательно, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t :

.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки М0 (рис. 5).

Точка M0(x0;y(x0)) – фиксированная точка графика . Точка M(x0+Dx; y(x0+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M0 (при этом Dx ® 0), то секущая линия M0M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M0.

Рис. 5

Рассмотрим треугольник M0MA: tg j = , j – угол наклона секущей M0 M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx ®0:

j = ,

где – угол наклона касательной к оси Ox.

Таким образом, y' (x0) = tg частное значение производной функции  в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к линии y = f(x) в точке M0(x0; y(x0)). Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(x0;y0) с известным угловым коэффициентом Kкас = y'(x0), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M0(x0; f(x0)):

y = f(x0) + f ' (x0) × (x – x0).

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M0(x0;f(x0)):

y = f(x0) –,

используя условие перпендикулярности прямых:

Решение типового варианта контрольной работы по математике