Контрольная работа ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

    1)  

    Вывод: ;

    2) ;

    Вывод:  

    3)

    Вывод: ;

    (используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

    4)  

    Вывод: так как ln x = log e x, то, используя производную, для (log a x), можно записать:

     .

    5) (c)' = 0

    Вывод: y = c, Dy = y(x+Dx) – y(x) = c – c = 0 .

    Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

    Таблица производных основных элементарных функций

    (c)' = 0

    (xa)' = a×xa – 1

    (ax)' = ax×ln a, (a > 0, a ≠ 1)

    (ex)' = ex

    (loga x)' = , (a > 0; a ≠ 1)

    (ln x)' =

    (sin x)' =cos x

    (cos x)' = – sin x

    (tg x)' =

    (ctg x)' = –

    (arcsin x)' =

    (arccos x)' = –

    (arctg x)' =

    (arcctg x)' =

    Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

    Определение 3. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке xÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и её приращение в этой точке можно представить в виде:

    Dx = A×Dx + (Dx)×Dx,

    где A = A(x) – не зависит от Dx; (Dx) – бесконечно малая величина при Dx®0, т.е.

    Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)

    Функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f '(x). При этом f '(x) = A.

    Доказательство.

    1) Необходимость: Дано: y = f(x) дифференцируема в точке х.

     Доказать: A = f '(x).

    Так как функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то по определению

    Dy = A × Dx + (Dx) × Dx,

    где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

    Разделим это равенство на Dx ≠ 0:

    .

    Перейдём к пределу при Dx ® 0:

      существует, а значит f '(x) = A.

    Необходимость доказана.

    2) Достаточность: Дано: f ' (x) – существует

     Доказать: f(x) дифференцируема.

    Так как существует f '(x)=, то по свойству предела можно записать:

    ,

    где (Dx) ® 0 при D x® 0.

    Умножим это равенство на Dx:

    Þ функция y = f(x), дифференцируема в точке х.

    Достаточность доказана.

    Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции)

    Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f), то она непрерывна в этой точке.

    Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то её приращение в этой точке можно представить в виде:

    Dy = A × Dx + (Dx) × Dx,

    где A = f '(x) и (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

    Найдём предел от Dy при Dx ® 0:

    Отсюда следует, что по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f(x) непрерывна в точке x.

    Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

    Правила дифференцирования

    Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x) ± V(x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

    (U(x) ± V(x))' = (U(x))' ± (V(x))'.

    Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x) ± V(x).

    Тогда Dy = DU ± DV. Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

    так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

    Значит, (U(x) ± V(x))' = U '(x) ± V '(x).

    Теорема доказана.

    Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

    (U(x) × V(x))' = (U(x))'× V(x) + U(x) × (V(x))'.

    Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

    Dy = (U+DU)(V+DV) – U×V = U×V + U×DV + V×DU + DU×DV – U×V=

    = U×DV + V×DU + DU×DV.

    Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx ® 0:

    так как по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит ,  и .

    Следовательно,

    (U(x)× V(x))' = U ' (x) × V(x) + U(x) × V ' (x).

    Теорема доказана.

    Следствия:

    а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x) ×W(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

    (U×V×W)' = U '×V×W + U×V '×W + U×V×W '.

    б) Производная постоянной, умноженной на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:

    (C×U(x))' = C×U ' (x).

    Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x) ≠ 0, то функция  дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

    .

    Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

    Разделим Dy на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

    ,

    Значит,

    .

    Теорема доказана.

    Теорема 6 (производная сложной функции). Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причём u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

    (f (u(x)))' = f '(u) ×u' (x).

    Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(u). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде:

    ,

    где .

    Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

     

    Если D x® 0, то D u® 0, так как u(x) дифференцируема, а значит непрерывна, т.е.

     (f(u(x)))' = f ' (u) ×u' (x).

    Теорема доказана.

    Решение типового варианта контрольной работы по математике