Контрольная работа ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Дифференцирование функции, заданной неявно

    Пусть функция  задана неявно уравнением . Дифференцируя это равенство по x по правилу дифференцирования сложной функции, находим из полученного равенства y'.

    Пример. Найти y', если функция y задана уравнением:

    x3 + y3 – xy = 0

    Решение.

    3x2 + 3y2×y’ – y – xy’ = 0

    y’(3y2 – x) = y – 3x2

    Ответ: .

    Производные показательной и степенной функций

    Теорема 7. Степенная функция y = xa (aÎR) дифференцируема при любом xÎR и справедлива формула:

    (xa)' = a ×xa – 1.

    Доказательство. Прологарифмируем равенство y = xa, предполагая x > 0:

    ln y = a× ln x

    Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = xa неявно. Найдём производные от обеих частей равенства:

    Выразим отсюда y':

    Подставим в полученное равенство y = xa:

    Теорема доказана.

    Теорема 8. Показательная функция y = ax (a > 0, a ≠ 1) дифференцируема при любом xÎR и справедлива формула:

    (ax)' = ax × ln a

    Доказательство. Прологарифмируем равенство y = ax:

    ln y = x ln a.

    Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = ax неявно. Найдём производные от обеих частей равенства:

    Выразим отсюда y':

    y' = y × ln a.

    Подставим в полученное равенство y = ax :

    (ax)' = ax × ln a

    Теорема доказана.

    Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид:

    (ex)' = ex × ln e или (ex)' = ex.

    Теорема 9. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U(x))V(x) дифференцируема в точке x и справедлива формула:

    .

    Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y = (U(x))V(x) по основанию логарифма e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.

    Производные обратных тригонометрических функций

    Теорема 10. Функция y = arcsin x дифференцируема при любом xÎ(–1;1) и справедлива формула:

    Доказательство: Функция y = arcsin x определена при x Î[–1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области её определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение x = sin y можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsin x. Найдём производную от обеих частей уравнения:

    .

    Выразим из полученного равенства y':

    .

    Но  при .

    Поэтому , так как .

    Следовательно, получаем:

    .

    Теорема 11. Функция y = arсcos x дифференцируема при x Î(–1;1) и справедлива формула:

    .

    Теорема 12. Функция y = arctg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула:

    .

    Теорема 13. Функция y = arcсtg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула:

    Теоремы 11, 12, и 13 доказываются аналогично теореме 10.

    Решение типового варианта контрольной работы по математике