Контрольная работа ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно Dx, а второе слагаемое – бесконечно малая величина при Dx ® 0 (более высокого порядка малости по сравнению с Dx):

,

где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Определение 4. Слагаемое  называется главной линейной относительно Dx частью приращения функции y = f(x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается

dy = y' (x)× Dx .

Если x – независимая переменная, то справедливо равенство Dx = dx, так как (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается:

dy = y' (x)× dx .

Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с Dx, то между приращением функции и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это равенство тем точнее, чем меньше Dx. На основе этого приближённого равенства получается приближённое представление значения дифференцируемой функции:

Пример. Вычислить приближённо

Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки

возьмём x0 = 4, приращение Dx = 0,08,   и подставим в формулу:

,

  где D << 0,08.

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x) в некоторой окрестности точки x0 (рис. 6):

Рис. 6

Из DM0AN

AN = M0A×tg a = Dx×f '(x0) = dy.

Итак: дифференциал функции y = f(x) в точке x0 равен приращению ординаты касательной (AN), проведённой к кривой y = f(x) в точке (x0; f(x0)), при переходе от x0 к  x0+Dx (от точки М0 в точку М).

Инвариантность формы дифференциала

Теорема 14. Пусть функция y = f(u) дифференцируема в точке u, а функция u = u(x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u(x)). Тогда для сложной функции y = f(u(x)) справедливо равенство:

dy = f '(u)du = y'(x)dx.

Доказательство. Сложная функция y=f(u(x)) является дифференцируемой в точке x. Поэтому справедливо равенство:

dy = y'(x)dx .

Но так как функция y(x) = f(u(x)) сложная, то

y' (x) = f ' (u) × u' (x).

Поэтому dy = y'(x)dx = f '(u)×u'(x)dx = f '(u)×du, так как по условию теоремы функция u = u(x) дифференцируема в точке x, следовательно,

du = u' (x)×dx.

Теорема доказана.

 Производные и дифференциалы высших порядков

Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке производную y' = f ' (x), которая в свою очередь может иметь производную: (y')' = (f '(x))' = y'', называемую второй производной функции y = f(x). Она обозначается:

Может случиться, что новая функция y''(x) имеет производную, тогда она называется третьей производной функции y = f(x) и обозначается:

 

Производная “n”-го порядка функции y = f(x) обозначается:

Дифференциалом второго порядка функции y = f(x) в точке x называется выражение, обозначаемое d2y и вычисляемое по формуле:

,

если x – независимая переменная.

Дифференциал третьего порядка функции y = f(x):

,

если x – независимая переменная, и т.д.

Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством инвариантности формы.

Решение типового варианта контрольной работы по математике