Контрольная работа СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, т.е. для любых

    x Î [a;b] выполняется неравенство:

    m ≤ f(x) ≤ M.

    Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [a;b] найдётся хотя бы одна точка х0, в которой выполняется равенство:

    f(х0) = С.

    Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х0 Î (a;b), в которой выполняется равенство:

    f(х0) = 0.

    Теорема Ролля

    Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

    f(x) непрерывна на отрезке [a;b];

    f(x) дифференцируема на интервале (a;b);

    f(a) = f(b),

    то внутри этого отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка х0, в которой выполняется равенство:

    f '(х0) = 0.

    Доказательство. Так как f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

    Возможны два случая:

    m = M и m < M.

    Если m = M, то f(x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Π[a;b]. Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х0 можно рассматривать любое значение x Π[a;b].

    Если m < M, то исходя из условия f(a) = f(b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f(a) = f(b). Для определённости предположим, что M – наибольшее значение f(x) достигается не на концах отрезка [a;b], а в некоторой внутренней точке х0 Î (a;b). Тогда в точке х0 для приращения функции справедливо неравенство: Dy = f(х0 + Dx) – f(хо) ≤ 0, так как f(х0) = M – наибольшее значение f(x) на отрезке [a;b] и Dx такое, что х0 + D x Π [a;b].

    Если D x > 0, то и существует

    Если D x < 0, то  и существует

    Так как по условию теоремы функция f(x) дифференцируема при xΠ(a;b), то в точке хо существует производная. Значит справедливы равенства:

    f ' (х0 + 0) = f ' (х0 – 0) = f ' (х0) = 0.

    Теорема доказана.

    Геометрический смысл теоремы Ролля

    С геометрической точки зрения теорема Ролля означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b], дифференцируемой на интервале (a;b) и принимающей на концах отрезка равные значения, имеет хотя бы одну точку с координатами (х0 ; f (х0)), где х0Î (a;b), в которой касательная параллельна оси Ox (рис. 7).

    Рис. 7

    Теорема Лагранжа

    Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

    f(x) непрерывна на отрезке [a;b],

    f(x) дифференцируема на интервале (a;b),

    то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х0, в которой выполняется равенство:

    f ' (х0) = .

    Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) + l×x, где l = const. Потребуем, что бы для F(x) выполнялось условие F(a) = F(b).

    Так как F(a) = f(a) + l×a и F(b) = f(b) + l×b, то получим равенство:

    f(a) + l×a = f(b) + l×b.

    Отсюда выразим значение l:

    l = – .

    При этом значении l  функция F(x) = f(x) – .

    Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

    F(x) непрерывна на отрезке [a;b]:

    F(x) дифференцируема на интервале (a;b)

    F(a) = F(b).

    Следовательно, по теореме Ролля на интервале (a;b) существует хотя бы одна точка х0, в которой выполняется равенство:

    F '(х0) = 0.

    Найдём F '(x):

    F '(x) = f '(x) – .

    Поэтому F '(x0) = f '(х0) –= 0, если f '(х0) = .

    Теорема доказана.

    Геометрический смысл теоремы Лагранжа

    С геометрической точки зрения теорема Лагранжа означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b] и дифференцируемой на интервале (a;b), имеет хотя бы одну точку (х0; f(х0), в которой касательная параллельна секущей, проходящей через точки A(a; f(a)) и B(b; f(b)) (рис. 8) 

    Рис. 8

    Теорема Коши

    Теорема 6 (теорема Коши). Если функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a;b] и удовлетворяют условиям:

    f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b];

    f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a;b);

      g '(x) ¹ 0 при любом x Î (a;b),

    то внутри отрезка [a;b] найдётся хотя бы одна точка х0, в которой выполняется равенство:

    .

    Доказательство аналогично доказательству теоремы 5 (теорема Лагранжа) при вспомогательной функции

    F(x) = f(x) + l × g(x),

    где l = const, которую выбирают так, чтобы F(a) = F(b).

    Правило Лопиталя

    Теорема 7 (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х0 и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

     f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х0;

    g '(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

      или ,

    тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

    = .

    Замечание 1. Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа   или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0×∞, , 10, 00 или ∞0, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к  или  и тогда можно применить правило Лопиталя.

    Замечание 2. Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х0, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:

      =  =

    Пример 1. Вычислить предел:

    Пример 2. Вычислить предел:

    Пример 3. Вычислить предел:

    Пример 4. Вычислить предел:

    .

    Пример 5. Вычислить предел:

    Пример 6. Вычислить предел:

    Кукуруза оформить Кредитную карту онлайн заявка.
    Решение типового варианта контрольной работы по математике