Контрольная работа ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Асимптоты плоской кривой

Определение 1. Если точка M(x; y) перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к ¥ и при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется асимптотой кривой y = f(x).

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов  или  равен +¥ или – ¥.

Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), то в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода. Наоборот, если в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x).

Определение 3. Прямая  называется наклонной асимптотой кривой  при  (или ), если функцию f(x) можно представить в виде:

,

где (x) – бесконечно малая функция при  (или ).

Теорема 1. Для того чтобы кривая y = f(x) имела наклонную асимптоту при  (или) необходимо и достаточно существования двух конечных пределов:

  и

Доказательство. Ограничимся случаем .

Необходимость. Пусть y = kx+b – наклонная асимптота при  кривой y = f(x). Тогда функцию f(x) представим в виде:

, где  при .

Убедимся в существовании конечных пределов:

.

.

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть существуют конечные пределы  и .

Тогда по свойству конечных пределов второй предел можно переписать в виде:

где (x) – бесконечно малая величина при .

Отсюда получаем:

,

где  при .

Достаточность доказана.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) D(y) = (–¥;–1) È (–1;1) È (1;+ ¥).

2) Точки x = –1 и x = 1 являются точками разрыва второго рода, так как:

Поэтому прямые x = –1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами.

3) Вычислим пределы:

, k = 1.

Отсюда следует, что при  прямая y = 1×x +0, т.е. y = x – наклонная асимптота при .

Найдём наклонную асимптоту при .

Вычисляя те же пределы при , получим k = 1 и b = 0, т.е. прямая y = x является наклонной асимптотой при .

Ответ: x = ± 1 – вертикальные асимптоты

 y = x – наклонная асимптота при x ® ±¥.

Монотонность функции

Определение 4. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a;b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому промежутку, из условия x2 > x1 следует неравенство:

f(x2) > f(x1) (f(x2) < f(x1)).

Определение 5. Функция y = f(x) называется монотонной на промежутке (a;b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция y = f(x) дифференцируема на промежутке (a;b) и f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для любых x Î (a;b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Возьмём любые два значения x1 и x2 из промежутка (a;b). Для определённости предположим, что x2 > x1.

На отрезке [x1;x2] функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x1; x2], т.е. существует хотя бы одна точка c Î (x1; x2), в которой выполняется равенство:

f(x2) – f(x1) = f' (c) × (x2 – x1).

Если f '(x) > 0 для любых xÎ(a;b), то f '(c) > 0. Поэтому f(x2) – f(x1) > 0, т.е. из условия x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1). А так как x1 и x2 –любые значения из промежутка (a;b), то функция y = f(x) возрастает на этом промежутке.

Если   для любых , то . Поэтому, то есть из условия x2 > x1 следует неравенство  f(x2) < f(x1). Так как x1 и x2 любые значения из промежутка (a;b), то функция  y = f(x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.

Экстремумы функции

Определение 6. Функция y = f(x) имеет в точке x0ÎD(f) максимум ymax (минимум ymin), если существует такая окрестность точки x0, в которой для всех x выполняется неравенство:

f(x0) > f(x) (f(x0) < f(x)).

Определение 7. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x0, то в этой точке производная функции равна нулю или не существует.

Доказательство. 1)Для определённости рассмотрим случай, когда функция y = f(x) в точке x0 имеет максимум и в этой точке существует производная. Тогда из определения максимума для любого x, принадлежащего окрестности точки x0 f(x0) > f(x).

Отсюда следует, что для любого Dx ≠ 0 справедливо неравенство: f(x0+Dx) – f(x0) < 0. Разделим это неравенство на Dx, получим:

при Dx > 0:

при Dx < 0:

Перейдём к пределам:

Так как существует, то:

Аналогично рассматривается случай, когда x0 – точка минимума.

2) Если f '(x0) не существует или равна ¥, то точка x0 может быть точкой экстремума функции.

Например, функция y =  имеет минимум при x = 0, хотя y'(0) не существует (рис. 9).

Рис. 9

Теорема доказана.

Теорема 4 (достаточное условие экстремума). Если функция y = f(x) непрерывна в точке x0, дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением может быть самой этой точки, f’(x0) = 0 или не существует и при переходе x через точку x0 производная f '(x) изменяет знак, то точка x0 является точкой экстремума. Если при этом знак f '(x) меняется

 с + на –, то x0 – точка максимума,

с  – на +, то x0 – точка минимума.

Доказательство. Пусть f '(x) при переходе x через точку x0 изменяет знак с 

+ на – , т.е. f '(x) > 0 при x Π(x0 – d; x0) и f '(x) < 0 при x Î (x0; x0 + d), где d > 0 (рис. 10).

Рис. 10

1) Пусть x Î (x0 – d; x0). На отрезке [x; x0] функция y = f(x) удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит, на интервале (x; x0) найдётся хотя бы одна точка c1, в которой выполняется равенство:

f(x) – f(x0) = f '(c1)×(x – x0),

  где c1Î (x0 – d; x0).

Так как f '(c1) > 0 и x – x0 < 0, то f(x) – f(x0) < 0. 

2) Пусть . На отрезке  функция  также удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит на интервале (x0; x) найдётся хотя бы одна точка с2, в которой выполняется равенство:

f(x) – f(x0) = f’(c2)×(x – x0),

где c2 Î (x0; x0 + d).

Так как f '(c2) < 0 и x – x0 > 0, то f(x) – f(x0) < 0.

Следовательно, для любого x Î (x0 – d; x0 + d) выполняется неравенство: 

f(x0) > f(x).

Отсюда следует, что точка x0 является точкой максимума функции y = f(x). Аналогично рассматривается случай, когда при переходе x через точку x0 изменяет знак с – на +. При этом точка x0 является точкой минимума функции .

Теорема доказана.

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в любой точке промежутка (a;b). Тогда она имеет конечную производную в любой точке этого промежутка. Значит, существует касательная к графику функции y = f(x) в любой его точке (x; f(x)) при a < x < b.

Определение 8. График функции y = f(x), дифференцируемой в каждой точке промежутка (a;b), называется выпуклым (вогнутым) на этом промежутке, если для любого x Î (a;b) график расположен не выше (не ниже) касательной к графику в точке (x; f(x)).

Теорема 5 (достаточное условие выпуклости или вогнутости кривой).

Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на промежутке (a;b) и f ''(x) для x Î (a;b) сохраняет свой знак, тогда кривая y = f(x) выпуклая, если f ''(x) £ 0

при x Î (a;b), и кривая y = f(x) вогнутая, если f ''(x) ³ 0 при x Î (a;b).

Доказательство. Для определённости рассмотрим случай, когда f ''(x) ³ 0 для x Î (a;b). Обозначим x0 любую точку промежутка (a;b). Построим касательную к кривой y = f(x) в точке (x0; f(x0)): yкасат = f(x0) + f '(x0)∙(x – x0). Покажем, что график функции y = f(x) лежит не ниже этой касательной,

т.е. выполняется неравенство: (f(x) – yкасат(x)) ³ 0 для любого x Î (a;b) (рис.11).

f(x) – yкасат(x) = f(x) – (f(x0) + f '(x0)∙(x – x0)) =

 = f(x) – f(x0) – f '(x0)∙(x – x0) =  (f(x) – f(x0)) – f '(x0)∙(x – x0), (1)

 где x Î (a;b) .

Функция y = f(x) на отрезке [x0;x] удовлетворяет условию теоремы Лагранжа, т.е. на отрезке [x0;x] найдётся хотя бы одна точка c1, для которой

выполняется равенство:

f (x) – f(x0) = f '(c1)∙(x – x0).

Рис. 11

Подставим в равенство (1) полученное соотношение.

 f(x) – yкасат(x) = f '(c1)(x– x0) – f ' (x0)(x – x0) = (x – x0)×(f ' (c1) – f ' (x0)). (2) Функция f '(x) на отрезке [x0;c1] удовлетворяет условию теоремы Лагранжа, т.е. на промежутке (x0;c1) найдётся хотя бы одна точка с2, для которой выполняется равенство:

f '(c1) – f '(x0) = f ''(c2)(c1 – x0).

Подставим в равенство (2) полученное соотношение:

 f(x) – yкасат(x) = (x – x0)×f ''(c2)∙(c1 – x0). (3)

Если x > x0, то c1 > x0 и c2 > x0, т.е. x – x0 > 0 и с1 – x0 > 0.

По предположению f ''(x) ³ 0. Тогда f(x) – yкасат(x) ³ 0.

Если x < x0, то c1 < x0 и c2 < x0, т.е. x – x0 < 0 и c1 – x0 < 0. Тогда f(x) – yкасат(x) ³ 0.

Следовательно, при любом x Î (a;b) выполняется неравенство:

f(x) – yкасат(x) ³ 0,

т.е. на промежутке (a,b) график функции y = f(x) вогнутый.

Аналогично можно доказать, что если f ''(x) £ 0 при любом x Î (a;b), то кривая y = f(x) на промежутке (a;b) будет выпуклой.

Теорема доказана.

Определение 9. Пусть в точке (x0; f(x0)) существует касательная. Тогда точка (x0; f(x0)), отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой (или наоборот) называется точкой перегиба графика функции y = f(x).

Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба). Если функция y = f(x) дважды дифференцируема в окрестности точки x0, вторая производная функции f ''(x0) = 0 (или не существует) и f ''(x) меняет свой знак при переходе x через точку x0, то точка (x0; f(x0)) – точка перегиба кривой y = f(x).

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда f ''(x) при переходе через точку x0 изменяет знак с + на –.

Тогда в левой полуокрестности точки x0 f ''(x) > 0, т. е. кривая при x < x0 вогнутая, а в правой полуокрестности точки x0 f ''(x) < 0, т. е. кривая при x > x0 выпуклая.

Следовательно, точка (x0; f(x0)) по определению является точкой перегиба графика функции y = f(x).

Аналогично рассматривается другой случай, когда f ''(x) при переходе

через точку x0 изменяет знак с – на +.

Теорема доказана.

Решение типового варианта контрольной работы по математике