Контрольная работа ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a;b].

Определение 10. Число f(c) называется наибольшим (наименьшим) значением функции y = f(x) на отрезке [a;b] и обозначается  (), если для любого x Π[a;b] выполняется неравенство:

f(x) £ f(c) (f(x) ³ f(c)) .

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по свойству непрерывной на отрезке функции она достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Схема нахождения этих значений следующая:

1) Найти все точки, в которых f '(x) = 0 (или не существует). Причём выбрать те точки из полученных, которые попадают на отрезок [a;b].

2) Вычислить значения функции в полученных точках в п.1.

3) Вычислить значения функции в граничных точках отрезка [a;b]: f(a) и f(b).

4) Из значений п.2 и п.3 найти наибольшее число M и наименьшее m.

Тогда  

Схема исследования функции. Построение графика

1) Найти область определения функции y = f(x) – множество D(f) тех значений x, при которых функция y = f(x) имеет смысл.

2) Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли наименьшее положительное число T такое, что f(x+T) = f(x) для любого xÎ D(f). Если «да», то целесообразно далее исследовать функцию и строить её график только на некотором отрезке длиной периода T. Затем продолжить график на всю область определения, разбивая её на интервалы длины T, в которых повторяется картинка графика.

3) Исследовать функцию на чётность и нечётность: выяснить, выполняются ли равенства:

f(– x) = f(x) для любого xÎ D(f) – чётность

или 

f(– x) = – f(x) для любого xÎ D(f) – нечётность.

Это позволяет узнать, есть ли симметрия графика: относительно оси Oy – чётная или относительно начала координат – нечётная.

4) Найти точки пересечения графика функциис осями координат:

с осью Oy: точка (0; f(0)), если 0 Î D(f),

с осью Oх: точка (xk; 0), где xkÎ D(f) и является решением уравнения f(x) = 0.

5) Найти промежутки знакопостоянства: выяснить, при каких x Î D(f) выполняются неравенства f(x) > 0 (график функции расположен выше оси Ox) и f(x) < 0 (график функции расположен ниже оси Ox).

6) Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва (см. §3, п.2, с. 19).

7) Найти вертикальные и наклонные асимптоты (см. §6, п.1, с. 43).

8) Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции (см. §6, п.2, с. 45 и п.3, с. 46).

9) Найти множество E(f) значений функции.

10) Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика (см. §6, п.4, с. 49).

11) Построить график функции, используя свойства, установленные в проведенном исследовании. Если в некоторых промежутках график остался неясным, то его уточняют по дополнительным точкам.

Пример. Исследовать функцию y = (x + 2)e–x и построить её график.

1) D(y) = R.

2) Функция не периодическая.

3) Так как y(–x) ≠ y(x) и y(–x) ≠ –y(x), то функция общего вида, не является ни чётной, ни нечётной.

4) Точка пересечения графика с осью Ox : (– 2; 0), с Oy : (0; 2)

5) При x Î (–¥; –2) функция отрицательная, при x Î (–2; +¥) функция положительная.

6) Функция непрерывна при x Î R.

7) Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: y = kx + b.

а)

   k = 0 при x ® +¥

 

 b = 0 при .

Следовательно, y = 0 – наклонная (горизонтальная) асимптота при .

б)  

 при  наклонной асимптоты нет.

8) f '(x) = ((x + 2)e– x) ' = 1×e– x+(x + 2)×(–e–x) = e–x(1 – x – 2) = –(x + 1)e– x.

 D(y') = R.

 y ' = 0: – (x+1)e– x = 0 Þ x = – 1, f(–1) = 1×e1 = e.

при x Î (– ¥;– 1) f(x) возрастает,

при x Î(– 1;+¥) f(x) убывает,

при x = –1 fmax (– 1) = (– 1+2)e– (– 1) = e.

9) E(f) = (–¥; e), так как

и fmax (–1) = e.

10) f ''(x) = (– (x + 1)e– x) ' = – 1e– x + (x + 1)e–x = e– x(x + 1 – 1) = xe–x.

D(f '') = R

f '' (x) = 0 : xe– x = 0 Þ x = 0, f(0) = 2.

при x Î (– ¥;0) график f(x) выпуклый

при x Î (0;+¥) график f(x) вогнутый

Точка (0;2) – точка перегиба графика.

11) Результаты проведенного исследования cведём в таблицу и построим график (рис. 12)

Таблица

Результаты исследования функции y = (x + 2)e – x

x

(– ¥;– 1)

– 1

(– 1;0)

0

(0;+¥)

знак f ' (x)

+

0

знак f '' (x)

0

+

F(x)

e

2

Рис. 12

Решение типового варианта контрольной работы по математике