Контрольная работа ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

    Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a;b].

    Определение 10. Число f(c) называется наибольшим (наименьшим) значением функции y = f(x) на отрезке [a;b] и обозначается  (), если для любого x Π[a;b] выполняется неравенство:

    f(x) £ f(c) (f(x) ³ f(c)) .

    Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по свойству непрерывной на отрезке функции она достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

    Схема нахождения этих значений следующая:

    1) Найти все точки, в которых f '(x) = 0 (или не существует). Причём выбрать те точки из полученных, которые попадают на отрезок [a;b].

    2) Вычислить значения функции в полученных точках в п.1.

    3) Вычислить значения функции в граничных точках отрезка [a;b]: f(a) и f(b).

    4) Из значений п.2 и п.3 найти наибольшее число M и наименьшее m.

    Тогда  

    Схема исследования функции. Построение графика

    1) Найти область определения функции y = f(x) – множество D(f) тех значений x, при которых функция y = f(x) имеет смысл.

    2) Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли наименьшее положительное число T такое, что f(x+T) = f(x) для любого xÎ D(f). Если «да», то целесообразно далее исследовать функцию и строить её график только на некотором отрезке длиной периода T. Затем продолжить график на всю область определения, разбивая её на интервалы длины T, в которых повторяется картинка графика.

    3) Исследовать функцию на чётность и нечётность: выяснить, выполняются ли равенства:

    f(– x) = f(x) для любого xÎ D(f) – чётность

    или 

    f(– x) = – f(x) для любого xÎ D(f) – нечётность.

    Это позволяет узнать, есть ли симметрия графика: относительно оси Oy – чётная или относительно начала координат – нечётная.

    4) Найти точки пересечения графика функциис осями координат:

    с осью Oy: точка (0; f(0)), если 0 Î D(f),

    с осью Oх: точка (xk; 0), где xkÎ D(f) и является решением уравнения f(x) = 0.

    5) Найти промежутки знакопостоянства: выяснить, при каких x Î D(f) выполняются неравенства f(x) > 0 (график функции расположен выше оси Ox) и f(x) < 0 (график функции расположен ниже оси Ox).

    6) Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва (см. §3, п.2, с. 19).

    7) Найти вертикальные и наклонные асимптоты (см. §6, п.1, с. 43).

    8) Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции (см. §6, п.2, с. 45 и п.3, с. 46).

    9) Найти множество E(f) значений функции.

    10) Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика (см. §6, п.4, с. 49).

    11) Построить график функции, используя свойства, установленные в проведенном исследовании. Если в некоторых промежутках график остался неясным, то его уточняют по дополнительным точкам.

    Пример. Исследовать функцию y = (x + 2)e–x и построить её график.

    1) D(y) = R.

    2) Функция не периодическая.

    3) Так как y(–x) ≠ y(x) и y(–x) ≠ –y(x), то функция общего вида, не является ни чётной, ни нечётной.

    4) Точка пересечения графика с осью Ox : (– 2; 0), с Oy : (0; 2)

    5) При x Î (–¥; –2) функция отрицательная, при x Î (–2; +¥) функция положительная.

    6) Функция непрерывна при x Î R.

    7) Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: y = kx + b.

    а)

       k = 0 при x ® +¥

     

     b = 0 при .

    Следовательно, y = 0 – наклонная (горизонтальная) асимптота при .

    б)  

     при  наклонной асимптоты нет.

    8) f '(x) = ((x + 2)e– x) ' = 1×e– x+(x + 2)×(–e–x) = e–x(1 – x – 2) = –(x + 1)e– x.

     D(y') = R.

     y ' = 0: – (x+1)e– x = 0 Þ x = – 1, f(–1) = 1×e1 = e.

    при x Î (– ¥;– 1) f(x) возрастает,

    при x Î(– 1;+¥) f(x) убывает,

    при x = –1 fmax (– 1) = (– 1+2)e– (– 1) = e.

    9) E(f) = (–¥; e), так как

    и fmax (–1) = e.

    10) f ''(x) = (– (x + 1)e– x) ' = – 1e– x + (x + 1)e–x = e– x(x + 1 – 1) = xe–x.

    D(f '') = R

    f '' (x) = 0 : xe– x = 0 Þ x = 0, f(0) = 2.

    при x Î (– ¥;0) график f(x) выпуклый

    при x Î (0;+¥) график f(x) вогнутый

    Точка (0;2) – точка перегиба графика.

    11) Результаты проведенного исследования cведём в таблицу и построим график (рис. 12)

    Таблица

    Результаты исследования функции y = (x + 2)e – x

    x

    (– ¥;– 1)

    – 1

    (– 1;0)

    0

    (0;+¥)

    знак f ' (x)

    +

    0

    знак f '' (x)

    0

    +

    F(x)

    e

    2

    Рис. 12

    Решение типового варианта контрольной работы по математике