Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная функция и её свойства

Определение 1. Функция  F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F '(x) = f(x).

Пример 1. Функция F (x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x на бесконечном промежутке (– ¥; +¥), так как

F’(x) = (sin x) ' = cos x = f(x) для x Î (– ¥;+¥).

Нетрудно убедиться, что функции F1(x) = sin x + 5 и F2(x) = sin x – 10 также являются первообразными функции f(x) = cos x для всех (– ¥;+¥), т.е. если для функции f(x) на некотором промежутке существует первообразная функции, то она не является единственной. Докажем, что множество всех первообразных для данной функции f(x) есть множество, которое задаётся формулой F(x) + C, где C – любая постоянная величина.

Теорема 1 (об общем виде первообразной). Пусть F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на интервале (a;b). Тогда любая другая первообразная для функции f(x) на интервале (a;b) представлена в виде F(x) + C, где C – некоторое число.

Доказательство. Во-первых, проверим, что F(x) + C также является первообразной для функции f(x) на интервале (a;b).

По условию теоремы F(x) на интервале (a;b) является первообразной для функции f(x), поэтому выполняется равенство:

F '(x) = f(x) при любом xÎ (a;b).

Так как С – некоторое число, то

(F(x) + С) ' = F '(x)+С ' = F '(x) + 0 = f(x).

Отсюда следует: (F(x) + С)' = f(x) при любом xΠ(a;b), а значит F(x) + С на интервале (a;b) является первообразной для функции f(x).

Во-вторых, проверим, что если F(x) и Ф(x) – две первообразные для функции f(x) на интервале (a;b), то они различаются между собой на постоянную величину, т.е. F(x) – Ф(x) = const.

Обозначим j(x) = F(x) – Ф(x). Так как по предположению функции F(x) и Ф(x) первообразные на интервале (a;b) для функции f(x), то выполняются равенства: F '(x) = f(x) и Ф'(x) = f(x) при любом xÎ (a;b). Следовательно, j'(x) = F '(x) – Ф' (x) = f(x) – f(x) = 0 при любом xÎ (a;b).

Функция j(x) непрерывна и дифференцируема при xÎ (a;b). Значит, на любом отрезке [x1; x2] Ì (a; b) функция j(x) удовлетворяет теореме Лагранжа: существует точка Î(x1; x2), для которой выполняется равенство:

j(x2) – j(x1) = j' ()× (x2 – x1) = 0×(x2 – x1) = 0

Þ j(x2) – j(x1) = 0 Þ j(x2) = j(x1) Þ j(x) = const.

Значит, F(x) – Ф(x) = const.

Итак, получили, что если известна одна первообразная F(x) для функции f(x) на интервале (a;b), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная величина. Такая форма записи первообразных носит название общего вида первообразной.

Понятие неопределённого интеграла

Определение 2. Множество всех первообразных для данной функции f(x) на интервале (a;b) называется неопределённым интегралом функции f(x) на этом интервале и обозначается символом:

В обозначении  знак называется знаком интеграла,  – подынтегральным выражением,  – подынтегральной функцией,  – переменной интегрирования.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на промежутке (a;b), то она имеет на промежутке (a;b) первообразную и неопределённый интеграл.

Замечание. Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции f(x) на некотором промежутке носит название интегрирования функции f(x).

Свойства неопределённого интеграла

Из определений первообразной F(x) и неопределённого интеграла от данной функции f(x) на некотором промежутке следуют свойства неопределённого интеграла:

.

.

, где С – произвольная постоянная.

, где k = const.

Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии, что интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же промежутке и существуют.

Таблица основных неопределённых интегралов

Действие интегрирования является обратным действию дифференцирования, т.е. по заданной производной функции f(x) надо восстановить начальную функцию F(x). Тогда из определения 2 и таблицы производных (см. §4, п. 3, с. 24) получается таблица основных интегралов.

1. .

2. .

3. .

4..

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15..

16..

В формулах 1-16 С – произвольная постоянная.

Замечание. Интеграл, взятый не от любой элементарной функции, является элементарной функцией. Примерами могут служить следующие интегралы, часто встречающиеся в задачах:

  – интеграл Пуассона,

  – интегралы Френеля,

  – интегральный логарифм,

   – интегральный косинус и синус.

Указанные функции существуют и имеют важное прикладное значение. Для этих функций составлены таблицы значений.

двери межкомнатные из массива недорого
Решение типового варианта контрольной работы по математике