Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Непосредственное интегрирование

а) Работа с таблицей: предложенный интеграл оказался одним из табличных интегралов. В этом случае требуется безошибочно найти соответствующую формулу таблицы основных интегралов и ею воспользоваться.

Пример 1.

1.   (формула 14)

2.  (формула 16)

б) Метод разложения: предложенный интеграл после применения линейных свойств (4 и 5) неопределённого интеграла заменяется на алгебраическую сумму табличных интегралов.

Пример 2.

Ответ: .

Пример 3.

Ответ: .

Пример 4.

Ответ:

в) Подведение под знак дифференциала: предложенный интеграл удается свести к табличному с помощью изменения переменой интегрирования или за счёт преобразований под знаком дифференциала. При этом используют следующие формулы:

d(j(x)) = j'(x)dx;

и т.д.

Далее используют тот факт, что если известен результат

,

то равенство

будет справедливо для любой дифференцируемой функции u = j(x).

Пример 5.

Ответ: .

Пример 6.

.

Ответ: .

Пример 7.

Ответ: .

Пример 8.

.

Ответ: .

Пример 9.

.

Ответ: .

Интегрирование подстановкой

Подстановка (или замена переменной) базируется на следующей теореме.

Теорема 1. Если не удаётся найти интеграл  непосредственно, то можно выбрать такую функцию x = j(t), удовлетворяющую условиям:

1) j(t) непрерывна при t Î (a;b), соответствующем интервалу xÎ (a;b),

2) дифференцируемая при tÎ (a;b);

3) имеет обратную функцию t = j–1(x),

чтобы

  , t = j–1(x)

стал табличным или более простым. Иногда для упрощения интеграла можно сделать замену t = y(x).

Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от искусства вычисляющего.

Пример 10.

 

.

Ответ: .

Пример 11.

.

Ответ: .

Пример 12.

.

Ответ: .

Пример 13. 

.

Ответ:  .

Решение типового варианта контрольной работы по математике