Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Интегрирование по частям

    Метод интегрирования по частям базируется на следующей теореме.

    Теорема 2. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на некотором интервале (a;b). Пусть на интервале (a;b) функция v(x)×u'(x) имеет первообразную. Тогда на интервале (a;b) функция u(x)×v'(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:

    .

    Доказательство. По формуле дифференцирования произведения:

    (u(x)×v(x))'= u '(x)×v(x) + u(x)×v '(x)

    и свойству неопределённого интеграла:

    можно записать:

    Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:

    .

    Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подынтегральное выражение на два множителя u(x) и dv(x) так, чтобы интеграл   оказался легко интегрируемым.

    Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы.

    1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:

    ln x;  arcsin x; arccos x; arctg x; arcctg x; ln2x; lnj(x); arcsin2x;…

    при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

    Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.

    2) Ко второй группе относятся интегралы вида:

    ,

    ,

    где a,b,a,n,A – некоторые постоянные числа, A > 0, n Î N.

    При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)n и интегрировать по частям n раз.

    3) К третьей группе относятся интегралы вида:

    , ,

    ,

    где a, b, A – постоянные числа, A > 0, A ≠ 1.

    Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u(x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.

    Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.

    Пример 14.

    Ответ:

    Пример 15.

    Ответ:

    Пример 16.

    Ответ:

    Пример 17.

    Ответ:

    Пример 18.

    Далее необходимо решить уравнение:


    Пусть, тогда уравнение запишется в виде:

    .

    Ответ: .

    Пример 19.

    .

    Пусть , тогда получаем уравнение вида:

    .

    Ответ: .

    Решение типового варианта контрольной работы по математике