Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аналитическая геометрия Векторная алгебра Пределы Примеры вычисления интегралов Вычислить повторный интеграл Вычислить двойной интеграл Вычислить тройной интеграл

	Аналитическая геометрия
	Системы линейных уравнений Правило Крамера Метод Крамера Метод Гаусса Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Элементарные преобразования матриц Система n линейных уравнений с n неизвестными Система линейных уравнений с базисом Ранг матрицы Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы Линейные действия над векторами Скалярное произведение векторов Даны координаты вершин пирамиды Линейные операции над векторами. Сложение векторов. Разложение вектора по базису Система координат Скалярное произведение векторов и его приложение
	Векторная алгебра
	Решение типовых примеров Векторное произведение векторов, его свойства Преобразование алгебраических выражений Комплексные числа Комплексные числа в тригонометрической форме Составить квадратное уравнение Прямоугольная декартова система координат Скалярное произведение векторов Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач Комбинаторика (комбинаторный анализ) Бином Ньютона
	Примеры вычисления интегралов
	Неопределенный интеграл Интегрирование некоторых иррациональных функций Найти и изобразить область определения функций Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков Вычислить повторный интеграл . Вычислить двойной интеграл Вычислить тройной интеграл Способы задания функции Предел функции на бесконечности Первый замечательный предел Непрерывность функции в точке и на промежутке Исходя из определения найти производную функции Примеры вывода производных некоторых элементарных функций Дифференцирование функции, заданной неявно Теорема Ролля Асимптоты плоской кривой Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Таблица основных неопределённых интегралов Непосредственное интегрирование Интегрирование по частям Интегрирование рациональных дробей Интегрирование простых дробей Интегрирование тригонометрических выражений Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Вычисление определенного интеграла Методы интегрирования определённого интеграла Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
	Пределы
	Предел последовательности Пример. Найти предел Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса Вычислить предел функции Задачи, связанные с применением второго замечательного предела Вычислить предел числовой последовательности Бесконечно малые и бесконечно большие функции Эквивалентные бесконечно малые функции Односторонние пределы. Свойства функций, непрерывных в точке Исследовать функцию на непрерывность Найти производную функции Найти асимптоты и построить график функции Векторная функция скалярного аргумента Составить уравнения касательной Методами дифференциального исчисления исследовать функцию Найти неопределенный интеграл Интегрирование рациональных функций Интегрирование некоторых тригонометрических функций Определенный интеграл

Интегрирование простых дробей
Задача интегрирования рациональной дроби сводится к умению интегрирования только правильных рациональных дробей, так как интегрирование целой части дроби (многочлена) – задача не сложная. Если решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то дальше надо уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать простые дроби (четыре типа).
I тип.
II тип.

III тип.
Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби III типа.
Пример 22. Найти интеграл от дроби III типа:
(D = 16 – 52 < 0 Þ дробь III типа)
.
Ответ: .
Пример 23. Найти интеграл от дроби IV типа:
Ответ: .
Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
1) Выделить целую часть дроби, если дробь является неправильной, т.е. представить в виде:
,
где Tm–n(x) и Rr(x) – многочлены степени m–n и r соответственно (причём r < n).
2) Разложить правильную рациональную дробь на сумму простых дробей.
3) Вычислить интегралы от многочлена Tm–n(x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге 2).
Пример 24. Найти интеграл
1) Дробь – неправильная рациональная дробь. Выделим её целую часть:
Поэтому можно записать:
.
2) Полученную правильную дробь разложим на сумму простых дробей:

Отсюда следует: .
Значит, подынтегральную рациональную дробь можем представить в виде:
.
3) Найдём интеграл:
Ответ:

Решение типового варианта контрольной работы по математике