Интегрирование простых дробей
Задача интегрирования рациональной дроби сводится к умению интегрирования только правильных рациональных дробей, так как интегрирование целой части дроби (многочлена) – задача не сложная. Если решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то дальше надо уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать простые дроби (четыре типа).
I тип.
II тип.
III тип.
Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби III типа.
Пример 22. Найти интеграл от дроби III типа:
(D = 16 – 52 < 0 Þ дробь III типа)
.
Ответ:
.
Пример 23. Найти интеграл от дроби IV типа:
Ответ:
.
Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
1) Выделить целую часть дроби, если дробь является неправильной, т.е. представить в виде:
,
где Tm–n(x) и Rr(x) – многочлены степени m–n и r соответственно (причём r < n).
2) Разложить правильную рациональную дробь
на сумму простых дробей.
3) Вычислить интегралы от многочлена Tm–n(x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге 2).
Пример 24. Найти интеграл
1) Дробь
– неправильная рациональная дробь. Выделим её целую часть:
Поэтому можно записать:
.
2) Полученную правильную дробь
разложим на сумму простых дробей:
Отсюда следует:
.
Значит, подынтегральную рациональную дробь можем представить в виде:
.
3) Найдём интеграл:
Ответ:
| Решение типового варианта контрольной работы по математике |