Интегрирование простых дробей
Задача интегрирования рациональной
дроби сводится к умению интегрирования только правильных рациональных дробей,
так как интегрирование целой части дроби (многочлена) – задача не сложная. Если
решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то дальше надо
уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать простые дроби (четыре
типа).
I тип. 
II тип. 

III
тип. 



Интегрирование
дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби III типа.
Пример
22. Найти интеграл от дроби III типа:

(D
= 16 – 52 < 0 Þ дробь III типа)


.
Ответ:
.
Пример 23. Найти интеграл от дроби IV типа:


Ответ:
.
Итак, любая рациональная дробь интегрируема.
Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
1) Выделить целую часть
дроби, если дробь является неправильной, т.е. представить в виде:
,
где
Tm–n(x) и Rr(x) – многочлены степени m–n и r соответственно (причём r < n).
2)
Разложить правильную рациональную дробь
на сумму простых дробей.
3) Вычислить
интегралы от многочлена Tm–n(x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге
2).
Пример 24. Найти интеграл 
1) Дробь
– неправильная рациональная дробь. Выделим её целую часть:

Поэтому
можно записать:
.
2)
Полученную правильную дробь
разложим на сумму простых дробей:



Отсюда следует: 
.
Значит, подынтегральную рациональную дробь можем
представить в виде:
.
3)
Найдём интеграл:

Ответ:
