Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Интегрирование простых дробей

Задача интегрирования рациональной дроби сводится к умению интегрирования только правильных рациональных дробей, так как интегрирование целой части дроби (многочлена) – задача не сложная. Если решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то дальше надо уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать простые дроби (четыре типа).

I тип. 

II тип.

 

III тип.

Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби III типа.

Пример 22. Найти интеграл от дроби III типа:

(D = 16 – 52 < 0 Þ дробь III типа)

.

Ответ: .

Пример 23. Найти интеграл от дроби IV типа:

Ответ: .

Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1) Выделить целую часть дроби, если дробь является неправильной, т.е. представить в виде:

,

где Tm–n(x) и Rr(x) – многочлены степени m–n и r соответственно (причём r < n).

2) Разложить правильную рациональную дробь  на сумму простых дробей.

3) Вычислить интегралы от многочлена Tm–n(x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге 2).

Пример 24. Найти интеграл

1) Дробь  – неправильная рациональная дробь. Выделим её целую часть:

Поэтому можно записать:

.

2) Полученную правильную дробь  разложим на сумму простых дробей:

    

Отсюда следует: .

Значит, подынтегральную рациональную дробь можем представить в виде:

.

3) Найдём интеграл:

Ответ:

Решение типового варианта контрольной работы по математике