Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Интегрирование тригонометрических выражений

1) Интеграл вида  

а) Если n – чётное число и m – чётное, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул:

б) Если одно из чисел m или n – нечётное, то выполняют замену:

t = sin x, если n – нечётное;

t = cos x, если m – нечётное.

Эта замена приводит к интегрированию степенных интегралов или рациональных дробей.

в) Если оба числа m и n – нечётные, то интеграл берется как в случае замены:

t = sin x, так и t = cos x.

Пример 25. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 26. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 27. Вычислить интеграл:

Ответ:

2) Интегралы вида:

; ;  

где

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

Пример 28. Вычислить интеграл:

Ответ:

3) Интеграл вида:  , где f(u;v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной дроби с помощью замены:

  ;

;

; .

Пример 29. Вычислить интеграл:

.

Ответ: .

4) Интегралы вида: , где f(u;v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы находят сведением к интегралу от рациональной дроби с помощью замены:

Пример 30. Вычислить интеграл:

Ответ:

5) Интегралы вида: , где .

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

или с помощью замены:

;

  или .

Пример 31. Вычислить интеграл:

Ответ:

Решение типового варианта контрольной работы по математике