Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Задача, приводящая к определённому интегралу

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x).

Определение 1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная  осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и графиком функции y = f(x).

Ставится задача: вычислить площадь этой криволинейной трапеции (рис. 13)

Рис. 13

Решение.

1) Разобьём отрезок [a;b] на n частей точками x0 = a; x1; x2; xn–1; xn = b и проведём прямые x = x1, x = x2, … x = xт–1, которые разобьют трапецию на n частей.

2) Обозначим Dxk = xk – xk–1 – длины отрезков разбиения [a;b]. На каждом из отрезков произвольно выберем точку Mk (k = 1, 2,…, n).

Построим на каждом из отрезков прямоугольники с высотами, равными значению функции в выбранных точках Mk .

Площади полученных прямоугольников равны:

S1 = f (M1) × D x1; S2 = f (M2) × D x2, …., Sn =  f (Mn) × D xn .

3) Найдём сумму этих площадей:



Получили площадь ступенчатой фигуры. Эта площадь зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на части и от выбора на каждой из частей точек Mk (k = 1, 2,…, n).

Чем больше будет точек разбиения отрезка [a;b] на части и мельче по длине эти части, тем точнее сумма  будет приближаться к площади данной криволинейной трапеции, т.е. можно записать:

Определение 2. Сумма  называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [a;b].

Определение 3. Предел интегральной суммы  функции f (x) на отрезке [a;b] при n ® ¥ и max Dxk ® 0 называется определённым интегралом функции f (x) на отрезке [a;b], если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части, ни от выбора точек Mk (k = 1,…, n) на каждой из частей. Следовательно, можно записать:

.

При этом отрезок [a;b] называют отрезком интегрирования, “a” – нижним пределом интегрирования, “b” – верхним пределом.

Теорема 1 (достаточное условие интегрируемости функции на отрезке [a;b]). Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то определённый интеграл  существует, т.е. функция f (x) на отрезке [a;b] интегрируема.

Геометрический смысл определённого интеграла

1)

2) Если область ограничена двумя кривыми y = f (x) и y = g(x), причём при xÎ [a;b] f (x) ³ g(x), то площадь области, ограниченной кривыми y = f (x); y = g(x) и прямыми x = a, x = b, вычисляется по формуле:

Свойства определённого интеграла

1)

2)

3)

4)

5) Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a;c] и [c;b], то она интегрируема и на отрезке [a;b], причём верно равенство:

при любом расположении точек a, b и c на оси Ox.

6) Если f (x) ³ 0 при xÎ [a;b], то

7) Если на отрезке [a;b] f (x) ³ g (x), то

8) Теорема 2 (о среднем значении определённого интеграла). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

Доказательство. Так как функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего “m” и наибольшего “M” значений. Тогда m £ f(x) £ M для любого xÎ[a;b]. По свойству 7 определённого интеграла можно записать неравенство:

Так как m и M – постоянные числа, то

   (*)

Вычислим по определению определённого интеграла

Тогда неравенство (*) можно переписать в виде:

.

Разделим все части полученного неравенства на (b – a) > 0 (длина отрезка интегрирования):

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает все значения, заключённые между наименьшим “m” и наибольшим “M” значениями. Значит найдётся на отрезке [a;b] хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

.

Теорема доказана.

Решение типового варианта контрольной работы по математике