Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

    Задача, приводящая к определённому интегралу

    Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x).

    Определение 1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная  осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и графиком функции y = f(x).

    Ставится задача: вычислить площадь этой криволинейной трапеции (рис. 13)

    Рис. 13

    Решение.

    1) Разобьём отрезок [a;b] на n частей точками x0 = a; x1; x2; xn–1; xn = b и проведём прямые x = x1, x = x2, … x = xт–1, которые разобьют трапецию на n частей.

    2) Обозначим Dxk = xk – xk–1 – длины отрезков разбиения [a;b]. На каждом из отрезков произвольно выберем точку Mk (k = 1, 2,…, n).

    Построим на каждом из отрезков прямоугольники с высотами, равными значению функции в выбранных точках Mk .

    Площади полученных прямоугольников равны:

    S1 = f (M1) × D x1; S2 = f (M2) × D x2, …., Sn =  f (Mn) × D xn .

    3) Найдём сумму этих площадей:



    Получили площадь ступенчатой фигуры. Эта площадь зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на части и от выбора на каждой из частей точек Mk (k = 1, 2,…, n).

    Чем больше будет точек разбиения отрезка [a;b] на части и мельче по длине эти части, тем точнее сумма  будет приближаться к площади данной криволинейной трапеции, т.е. можно записать:

    Определение 2. Сумма  называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [a;b].

    Определение 3. Предел интегральной суммы  функции f (x) на отрезке [a;b] при n ® ¥ и max Dxk ® 0 называется определённым интегралом функции f (x) на отрезке [a;b], если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на части, ни от выбора точек Mk (k = 1,…, n) на каждой из частей. Следовательно, можно записать:

    .

    При этом отрезок [a;b] называют отрезком интегрирования, “a” – нижним пределом интегрирования, “b” – верхним пределом.

    Теорема 1 (достаточное условие интегрируемости функции на отрезке [a;b]). Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то определённый интеграл  существует, т.е. функция f (x) на отрезке [a;b] интегрируема.

    Геометрический смысл определённого интеграла

    1)

    2) Если область ограничена двумя кривыми y = f (x) и y = g(x), причём при xÎ [a;b] f (x) ³ g(x), то площадь области, ограниченной кривыми y = f (x); y = g(x) и прямыми x = a, x = b, вычисляется по формуле:

    Свойства определённого интеграла

    1)

    2)

    3)

    4)

    5) Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a;c] и [c;b], то она интегрируема и на отрезке [a;b], причём верно равенство:

    при любом расположении точек a, b и c на оси Ox.

    6) Если f (x) ³ 0 при xÎ [a;b], то

    7) Если на отрезке [a;b] f (x) ³ g (x), то

    8) Теорема 2 (о среднем значении определённого интеграла). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

    Доказательство. Так как функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего “m” и наибольшего “M” значений. Тогда m £ f(x) £ M для любого xÎ[a;b]. По свойству 7 определённого интеграла можно записать неравенство:

    Так как m и M – постоянные числа, то

       (*)

    Вычислим по определению определённого интеграла

    Тогда неравенство (*) можно переписать в виде:

    .

    Разделим все части полученного неравенства на (b – a) > 0 (длина отрезка интегрирования):

    Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она принимает все значения, заключённые между наименьшим “m” и наибольшим “M” значениями. Значит найдётся на отрезке [a;b] хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

    .

    Теорема доказана.

    Решение типового варианта контрольной работы по математике