Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница

Интеграл с переменным верхним и постоянным нижним пределами и его свойства

Определение 4. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на отрезке [a;x] для любого xÎ[a;b]. Следовательно, на отрезке [a;b] определена функция , которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Свойства этой функции сформулируем в виде теоремы.

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда функция  обладает свойствами:

1) непрерывна на отрезке [a;b];

2) имеет производную F'(x) в каждой точке xÎ[a;b], удовлетворяющую равенству.

Доказательство. Вычислим приращение функции F(x), причём Dx возьмём таким, чтобы точка x + Dx Î [a;b].

Тогда

.

Применим к полученному интегралу теорему о среднем значении определённого интеграла, т.е. на отрезке [x; x + Dx] существует такое число c, в котором выполняется равенство:

Значит, DF = f (c)× Dx, где c Î [x; x + Dx].

Если Dx ® 0, то c ® x (так как x < c < x + Dx).

Поэтому, в силу непрерывности f (x), получим f (c) ® f (x) при Dx®0.

Таким образом, DF®0 при Dx®0, что доказывает непрерывность F(x).

Кроме того, вычисляя предел отношения DF к Dx при Dx ® 0, получим:

,

т.е. существует конечный предел отношения DF к Dx при Dx ® 0, что означает существование производной F' (x) = f (x).

Теорема доказана.

Из теоремы 3 следует, что функция  является первообразной для функции f (x).

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема 4. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – какая-либо её первообразная на отрезке [a;b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) по отрезку [a;b] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что наряду с функцией F(x) функция  также является на отрезке [a;b] первообразной для f(x). Тогда по свойству первообразных для одной и той же функции на некоторой области имеем:

  для любого xÎ [a;b] (**)

Вычислим значение const. Для этого, используя свойство 1 определённого интеграла (§3, п.2, с. 93) , рассмотрим равенство (**) при x = a:

Следовательно, равенство (**) можно переписать в виде:

для xÎ [a;b]

Теперь рассмотрим полученное равенство при x = b:

Это и есть формула Ньютона–Лейбница. Она является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определённым и неопределённым интегралами, и даёт правило вычисления определённого интеграла.

Замечание. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде:

  ,

где используется обозначение:

.

Задача вычисления определённого интеграла свелась к нахождению первообразной непрерывной функции.

Пример 1. Вычислить интеграл:

Ответ: .

Пример 2. Вычислить интеграл:

.

Ответ: .

Решение типового варианта контрольной работы по математике