Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница

    Интеграл с переменным верхним и постоянным нижним пределами и его свойства

    Определение 4. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на отрезке [a;x] для любого xÎ[a;b]. Следовательно, на отрезке [a;b] определена функция , которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

    Свойства этой функции сформулируем в виде теоремы.

    Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда функция  обладает свойствами:

    1) непрерывна на отрезке [a;b];

    2) имеет производную F'(x) в каждой точке xÎ[a;b], удовлетворяющую равенству.

    Доказательство. Вычислим приращение функции F(x), причём Dx возьмём таким, чтобы точка x + Dx Î [a;b].

    Тогда

    .

    Применим к полученному интегралу теорему о среднем значении определённого интеграла, т.е. на отрезке [x; x + Dx] существует такое число c, в котором выполняется равенство:

    Значит, DF = f (c)× Dx, где c Î [x; x + Dx].

    Если Dx ® 0, то c ® x (так как x < c < x + Dx).

    Поэтому, в силу непрерывности f (x), получим f (c) ® f (x) при Dx®0.

    Таким образом, DF®0 при Dx®0, что доказывает непрерывность F(x).

    Кроме того, вычисляя предел отношения DF к Dx при Dx ® 0, получим:

    ,

    т.е. существует конечный предел отношения DF к Dx при Dx ® 0, что означает существование производной F' (x) = f (x).

    Теорема доказана.

    Из теоремы 3 следует, что функция  является первообразной для функции f (x).

    Формула Ньютона–Лейбница

    Теорема 4. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – какая-либо её первообразная на отрезке [a;b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) по отрезку [a;b] равен разности значений функции F(x) в точках b и a:

    Доказательство. Из теоремы 3 следует, что наряду с функцией F(x) функция  также является на отрезке [a;b] первообразной для f(x). Тогда по свойству первообразных для одной и той же функции на некоторой области имеем:

      для любого xÎ [a;b] (**)

    Вычислим значение const. Для этого, используя свойство 1 определённого интеграла (§3, п.2, с. 93) , рассмотрим равенство (**) при x = a:

    Следовательно, равенство (**) можно переписать в виде:

    для xÎ [a;b]

    Теперь рассмотрим полученное равенство при x = b:

    Это и есть формула Ньютона–Лейбница. Она является основной формулой интегрального исчисления, устанавливающей связь между определённым и неопределённым интегралами, и даёт правило вычисления определённого интеграла.

    Замечание. Формулу Ньютона–Лейбница часто записывают в виде:

      ,

    где используется обозначение:

    .

    Задача вычисления определённого интеграла свелась к нахождению первообразной непрерывной функции.

    Пример 1. Вычислить интеграл:

    Ответ: .

    Пример 2. Вычислить интеграл:

    .

    Ответ: .

    Решение типового варианта контрольной работы по математике