Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Методы интегрирования определённого интеграла

Замена переменной в определённом интеграле

Теорема 5. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция x = j(t) имеет непрерывную производную j'(t) на отрезке [a;b], область значений этой функции – отрезок [a;b], т.е. a £ j (t) £ b для tÎ [a;b], причём j(a) = a, j(b) = b.

Тогда справедливо равенство:

.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует определённый интеграл  и справедлива формула Ньютона– Лейбница:

  (1)

где F(x) – одна из первообразных f (x) на отрезке [a;b].

Известно, что F(x) дифференцируема в любой точке отрезка [a;b], причём

F'(x) = f (x) для любого xÎ [a;b].

Так как функция x = j(t) непрерывна на [a;b] и множество её значений совпадает с отрезком [a;b], то сложные функции f(j(t)) и F(j(t)) непрерывны в любой точке t Π[a;b].

Так как j'(t) непрерывна на отрезке [a;b], то функция f(j(t)) × j'(t) тоже непрерывна на [a;b], а значит существует интеграл:

.

Покажем, что функция F(j(t)) является первообразной для . Действительно, (F(j (t)))'t = F'(x)× j'(t) = f (x)× j'(t) = f (j (t))× j'(t) для любого t Î [a;b]. Поэтому можно к этому интегралу применить формулу Ньютона–Лейбница:

  (2)

(так как j(b) = b и j(a) = a). 

Сравнивая результаты (1) и (2) приходим к равенству:

.

Пример 3. Вычислить интеграл:

.

Ответ: .

Пример 4. Вычислить интеграл:

Ответ:

Интегрирование по частям в определённом интеграле

Теорема 6. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда справедливо равенство:

.

Доказательство. Так как (u(x)× v(x))' = u(x) v' (x) + u' (x)× v(x) для любого x Î [a;b], то функция u(x) × V(x) является одной из первообразных функции u (x) ∙ v' (x) + u' (x) ∙ v(x).

Поэтому по формуле Ньютона–Лейбница:

Пользуясь свойством определённого интеграла можно это равенство записать в виде:

Отсюда следует:

Эту формулу удобно записать в виде:

Пример 5. Вычислить интеграл:

Ответ: .

Пример 6. Вычислить интеграл:

Ответ:

Решение типового варианта контрольной работы по математике