Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Методы интегрирования определённого интеграла

    Замена переменной в определённом интеграле

    Теорема 5. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция x = j(t) имеет непрерывную производную j'(t) на отрезке [a;b], область значений этой функции – отрезок [a;b], т.е. a £ j (t) £ b для tÎ [a;b], причём j(a) = a, j(b) = b.

    Тогда справедливо равенство:

    .

    Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует определённый интеграл  и справедлива формула Ньютона– Лейбница:

      (1)

    где F(x) – одна из первообразных f (x) на отрезке [a;b].

    Известно, что F(x) дифференцируема в любой точке отрезка [a;b], причём

    F'(x) = f (x) для любого xÎ [a;b].

    Так как функция x = j(t) непрерывна на [a;b] и множество её значений совпадает с отрезком [a;b], то сложные функции f(j(t)) и F(j(t)) непрерывны в любой точке t Π[a;b].

    Так как j'(t) непрерывна на отрезке [a;b], то функция f(j(t)) × j'(t) тоже непрерывна на [a;b], а значит существует интеграл:

    .

    Покажем, что функция F(j(t)) является первообразной для . Действительно, (F(j (t)))'t = F'(x)× j'(t) = f (x)× j'(t) = f (j (t))× j'(t) для любого t Î [a;b]. Поэтому можно к этому интегралу применить формулу Ньютона–Лейбница:

      (2)

    (так как j(b) = b и j(a) = a). 

    Сравнивая результаты (1) и (2) приходим к равенству:

    .

    Пример 3. Вычислить интеграл:

    .

    Ответ: .

    Пример 4. Вычислить интеграл:

    Ответ:

    Интегрирование по частям в определённом интеграле

    Теорема 6. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда справедливо равенство:

    .

    Доказательство. Так как (u(x)× v(x))' = u(x) v' (x) + u' (x)× v(x) для любого x Î [a;b], то функция u(x) × V(x) является одной из первообразных функции u (x) ∙ v' (x) + u' (x) ∙ v(x).

    Поэтому по формуле Ньютона–Лейбница:

    Пользуясь свойством определённого интеграла можно это равенство записать в виде:

    Отсюда следует:

    Эту формулу удобно записать в виде:

    Пример 5. Вычислить интеграл:

    Ответ: .

    Пример 6. Вычислить интеграл:

    Ответ:

    Решение типового варианта контрольной работы по математике