Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

а) Область D ограничена кривыми y = f(x) и y = g(x), прямыми x = a и x = b, причём f(x) ³ g(x) для xÎ[a;b].

.

б) Область D ограничена кривыми x = f(y) и x = g(y), прямыми y = c и y = d, причём f (y) ³ g(y) для yÎ[c;d].

.

Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

а) Полярная система координат задается полярной осью Ox, полюсом – точка O и масштабной единицей (рис. 14) 

 Рис. 14

Точка M в этой системе задаётся двумя координатами (j и r): j – угол наклона радиуса-вектора к оси Ox; r – длина радиуса-вектора . Формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной системе, связанной с полярной точкой начала координат – точка 0, осью абсцисс с полярной осью и осью ординат, перпендикулярной полярной оси

M(j;r) = M(x; y):  и 

Уравнение кривой в полярной системе координат – соотношение между r и j: r = r (j).

б) Площадь криволинейного сектора в полярной системе, ограниченного лучами j =a и j = b, кривой r = r(j) (рис. 15), вычисляется по формуле:

Рис.15

Вычисление объёма тела по площадям параллельных сечений

Пусть задано объёмное тело T, для которого известна площадь S(x) любого сечения плоскостью, проходящей через точку (x;0;0) перпендикулярно оси Ox, a £ x £ b (рис. 16). Нужно вычислить объём тела.

Рис. 16

Пусть функция S(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда объём тела T вычисляется по формуле:

.

Вычисление объёма тела вращения

Надо вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции ABCD, ограниченной кривой y = f (x), осью Ox и прямыми x = a, x = b.

В таком случае площадь поперечного сечения в точке xÎ [a;b] круг радиусом f(x) равна:

.

Тогда объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции ABCD, вычисляется по формуле:

.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции ABCD, ограниченной кривой x = j(y), осью Oy и прямыми y = c, y = d, вычисляется по формуле:

.

Решение типового варианта контрольной работы по математике