Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При изучении определённого интеграл от функции f (x), требуется, чтобы функция f (x) удовлетворяла следующим условиям:

была определена на конечном отрезке [a;b];

была непрерывна на отрезке [a;b].

Если нарушено хотя бы одно из указанных условий, то речь будет идти о несобственных интегралах первого и второго рода.

Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;+¥) или (–¥;a] или (–¥;+¥).

Определение 1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном промежутке [a;+¥), обозначается  и в этом случае считается, что интеграл сходится. Если  не существует или равен ¥, то считается, что интеграл  расходится.

Аналогично определяются интегралы:

Если пределы конечные, то соответствующий интеграл считают сходящимся, а если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный, то интеграл считают расходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

 

Так как получили конечное число, то интеграл  сходится и равен .

Ответ: .

Интегралы от разрывных функций

1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = b либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = b

будем называть особой точкой функции f (x).

Определение 2. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается символом . При этом говорят, что несобственный интеграл  сходится и записывается равенство:

.

Если конечный предел не существует или он бесконечный, то говорят, что несобственный интеграл  расходится.

2) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = a либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = a называют особой точкой функции f (x).

Определение 3. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом

.

При этом говорят, что несобственный интеграл  сходится и записывается равенство:

.

Если конечный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл  расходится.

Замечание. Если функция f(x) имеет разрыв в некоторой точке x = c внутри отрезка [a;b], то по определению полагают:

при условии, что оба предела в правой части существуют, и e и d  не зависят друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом:

.

Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или не существования конечного предела.

Пример 2. Исследовать на сходимость:

Так получили конечное число, то  сходится и равен «–1».

Ответ:

Пример 3. Исследовать на сходимость:

Так как получили конечное число, то  сходится и равен .

Ответ: .

Пример 4. Исследовать на сходимость:

Так как получили бесконечность, то  расходится.

Ответ:   расходится.

Решение типового варианта контрольной работы по математике