Контрольная работа ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

    При изучении определённого интеграл от функции f (x), требуется, чтобы функция f (x) удовлетворяла следующим условиям:

    была определена на конечном отрезке [a;b];

    была непрерывна на отрезке [a;b].

    Если нарушено хотя бы одно из указанных условий, то речь будет идти о несобственных интегралах первого и второго рода.

    Интегралы с бесконечными пределами

    Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;+¥) или (–¥;a] или (–¥;+¥).

    Определение 1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном промежутке [a;+¥), обозначается  и в этом случае считается, что интеграл сходится. Если  не существует или равен ¥, то считается, что интеграл  расходится.

    Аналогично определяются интегралы:

    Если пределы конечные, то соответствующий интеграл считают сходящимся, а если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный, то интеграл считают расходящимся.

    Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

     

    Так как получили конечное число, то интеграл  сходится и равен .

    Ответ: .

    Интегралы от разрывных функций

    1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = b либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = b

    будем называть особой точкой функции f (x).

    Определение 2. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается символом . При этом говорят, что несобственный интеграл  сходится и записывается равенство:

    .

    Если конечный предел не существует или он бесконечный, то говорят, что несобственный интеграл  расходится.

    2) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = a либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = a называют особой точкой функции f (x).

    Определение 3. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом

    .

    При этом говорят, что несобственный интеграл  сходится и записывается равенство:

    .

    Если конечный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл  расходится.

    Замечание. Если функция f(x) имеет разрыв в некоторой точке x = c внутри отрезка [a;b], то по определению полагают:

    при условии, что оба предела в правой части существуют, и e и d  не зависят друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом:

    .

    Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или не существования конечного предела.

    Пример 2. Исследовать на сходимость:

    Так получили конечное число, то  сходится и равен «–1».

    Ответ:

    Пример 3. Исследовать на сходимость:

    Так как получили конечное число, то  сходится и равен .

    Ответ: .

    Пример 4. Исследовать на сходимость:

    Так как получили бесконечность, то  расходится.

    Ответ:   расходится.

    Решение типового варианта контрольной работы по математике