Техническая механика Контрольная работа Курс лекций Лабораторные работы

ТЕОРЕМА О МОМЕНТАХ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

Этой теоремой пользовался Гюйгенс (1673 г.), общее и строгое доказательство ее дано Л. Эйлером (1749 г.), в литературе она известна как «теорема Гюйгенса», или иногда ее называют «теоремой Штейнера». Штейнер доказал теорему 100 лет спустя (1840 г.) для частного случая (для точек на плоскости). В формулировке Эйлера теорема читается так: момент инерции тела относительно какой-либо оси, равен моменту инерции этого же тела относительно оси ей параллельной, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Доказательство. Пусть имеем некоторое твердое тело, момент инерции которого относительно оси СZ, проходящей через центр масс С тела, известен. Обозначим его через IZ. Необходимо вычислить момент инерции этого же тела относительно оси OZ1, параллельной оси СZ и отстоящей от нее на расстоянии ОС = а (рис. 4).

По определению осевого момента инерции: , где mj масса точки Aj. В системе Cxyz xj, yj, zj — ее координаты обозначим: x = xj; y = = yj; z = zj. Теперь опять же по определению осевого момента инерции запишем

где mj — масса точки Aj; x1j, y1j, z1j – ее координаты в новой системе Ox1y1z1.

Как видим из рис.4, x1j = x; y1j = y – a. Тогда, перейдя к старым координатам, получим

 

.

(1)

Теорема доказана.

Здесь (масса тела). , но С(xC; yC; zC);

xC = yC = zC = 0 (C — начало координат);

.

Как видим, , поэтому можно сделать такой вывод: среди всех моментов инерции относительно различных осей данного направления наименьшее значение имеет момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела.

Радиус инерции

Очень часто при расчетах пользуются понятием радиуса инерции. Представим себе момент инерции тела относительно оси Z как произведение его массы на квадрат некоторой длины :

Величину

(2)

называют радиусом инерции тела относительно данной оси Z. Радиус инерции  тела можно представить как радиус воображаемого тонкостенного цилиндра, который обладает той же массой, распределенной по его поверхности, и тем же моментом инерции относительно оси, что и данное тело.

Вычисления моментов инерции однородных тел

Пример 1. Определить момент инерции однородного прямолинейного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню, проходящей через его конец. Пусть имеем однородный прямолинейный стержень AB = l масса его М, масса единицы длины его  (рис.5), вычислим момент инерции стержня относительно оси Az. Разбиваем стержень на элементарные участки. Возьмем один такой участок длины , масса его . По определению момент инерции

но . Тогда

((3)


Курс лекций по основам технической механики