Техническая механика Контрольная работа Курс лекций Лабораторные работы

Пример. Вычислить количество движения колеса весом Р, центр масс которого имеет скорость  (рис. 12). Величину  определили по формуле (8). Направлен  так же, как и .

Теорема о движении центра масс

Центр движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Доказательство. Возьмем систему, состоящую и n материальных точек. Пусть точка , скорость которой , ускорение  является центром масс данной системы. Выразим количество движения этой системы через скорость центра масс: . Обе части этого равенства продифференцируем по времени:, но  (из кинематики точки); а  (из теоремы об изменении количества движения системы).

Тогда ,

(9)

что и требовалось доказать. Спроектируем это равенство на оси Oxyz, обозначив проекции  — , а где  — центр масс.

.

(10)

Называются эти уравнения дифференциальными уравнениями движения центра масс. С их помощью можно решать первую и вторую задачи динамики системы. Из выражений (9) и (10) видно, что внутренние силы на движение центра масс не влияют.

Частные случаи

Если , то ;  — центр масс такой системы движется равномерно и прямолинейно.

Если  и , то .

Отсюда видим, что центр масс остается неподвижным. Этот результат выражает закон сохранения положения центра масс системы.

Если , то ; ; .

Если же в начальный момент центр масс неподвижен, то , тогда   — закон сохранения координаты центра масс.

Пример. Рассмотрим движение человека по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. На человека действуют внешние силы: Р – вес его и реакция плоскости N (нормальная). Если ось х взять вдоль плоскости, то ; ; . Центр масс человека остается неподвижным, т.е. вдоль абсолютно гладкой плоскости человек перемещаться не может (его мускульные усилия будут внутренними силами, а внутренние силы на движения центра масс не влияют).

Если же плоскость негладкая, то , , центр масс перемещается ускоренно по горизонтали. Сила трения при этом направлена в сторону движения человека. Она позволяет ему двигаться.

Порядок решения задач с помощью закона сохранения количества движения системы

Изобразить на рисунке все внешние силы.

Выбрать систему координат.

Записать теорему об изменения главного вектора количеств движения системы материальных точек в проекциях на оси координат.

Если сумма проекций импульсов внешних сил на ось окажется равной нулю, например , то следует приравнять между собой проекции на эту ось главного вектора количеств движения системы в начальный и конечный момент времени, т.е. , из полученного уравнения определить искомую величину.

Порядок решения задач с помощью теоремы о движении центра масс

Изобразить на рисунке все внешние силы системы.

Выбрать систему осей координат.

Записать дифференциальные уравнения движения центра масс:

.

(11)

Вычислить суммы проекций всех внешних сил системы на оси декартовых координат и подставить их в уравнения (11).

В зависимости от условия решать прямую либо обратную задачи динамики.

Контрольные вопросы и задания к теме 3

№ 21

Бревно весом Р перекатывается на двух катках весом Q каждый (рис. 13). Определить количество движения системы, если бревно движется со скоростью v.

№ 22

Два шара весом A — 5H и B — 3H соединены с вертикальной осью ЕД горизонтальным стержнем АВ длиной 20 см и весом 10Н, прикрепленным к оси в точке О, отстоящей на 5 см от шара А.

Вся система вращается вокруг оси ЕД, делая 10 оборотов в минуту. Определить количество движения системы (рис. 14).

К = 7 кгм/с.

К = 0,07 кгм/с.

К = 1,2 кгм/с.

№ 23

Однородная квадратная рама АВСД со стороной а вращается вокруг оси АВ с постоянной угловой скоростью . Вокруг оси СВ, совпадающей с диагональю рамы, вращается однородный диск весом Р1 (рис. 15).

Определить количество движения системы, если вес рамы Р2.

К = 0.

.

 

.

№ 24

Матрос весом Р перемещается по шлюпке весом  с относительной скоростью u. В начальный момент шлюпка имела скорость . Определить, через сколько времени ее скорость станет равной нулю, если сопротивление воды постоянно и равно R (человек движется в сторону движения лодки).

.

.

№ 25

На лодке, движущейся со скоростью v0, находится человек. С какой скоростью будет перемещаться лодка, если человек начнет двигаться по ней с относительной скоростью u. Вес лодки , человека — Р (человек движется в сторону движения лодки). Сопротивлением воды пренебречь.

.

.

.

№ 26

Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью  и приводит в движение колесо II радиусом R и весом Р (рис. 16). Определить количество движения системы, если R1 = R2 = R, ОА — однородный стержень весом Р1.

.

.

.

№ 27

 
 
Определить главный вектор количества движения центробежного регулятора, вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . При этом углы  изменяются по закону  и верхние стержни поворачиваясь, поднимают шары А и В (рис. 17). Весом муфты пренебречь и весом стержней. Шары считать точечными массами весом Р каждый.

.

.

.

.

№ 28

Определить главный вектор количеств движения данной системы, если угловая скорость первого колеса , . Вес колес Р1 и Р2, центры тяжести их лежат на осях вращения О1 и О2 (рис. 18).

К = 0.

.

.

№ 29

На невесомом стержне, вращающемся вокруг оси О по закону , находятся на расстоянии ОМ1 = l1, ОМ2 = l2 две точки массой m1 и m2. Определить количество движения этой системы (рис. 19).

.

.

.

№ 30

Прямоугольный параллелепипед поставлен на горизонтальную плоскость. На него положено тело А весом Р1, а тело В весом Р2 соединено с телом А гибкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок С (рис. 20).

Определить зависимость между скоростью параллелепипеда  и скоростью u тела А по отношению к параллелепипеду, если опорные поверхности гладкие, и в начале движения система покоилась. Вес параллелепипеда Q, весом нити и блока пренебречь.

.

.

.

.

№ 31

Может ли человек во время прыжка в воду изменить траекторию своего центра тяжести?

Не может.

Может.

№ 32

Какое условие должно выполнятся, чтобы центр масс не перемещался?

№ 33

Влияют ли внутренние силы на движение центра масс?

Да.

Нет.

№ 34

Определить главный вектор  внешних сил, приложенных к однородному диску, вращающемуся вокруг неподвижной оси, центр тяжести диска расположен на его оси вращения.

.

.

Все ответы верны.

№ 35

Какой будет траектория центра масс однородного стержня АВ (рис. 21) при падении его на плоскость? В начальный момент стержень покоился. Плоскость гладкая.

Прямая.

Окружность.

Эллипс.

№ 36

Тонкий однородный стержень ОА = l весом Р вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью  (рис. 22). Определить главный вектор внешних сил. Массой оси пренебречь.

.

.

.

№ 37

На однородный цилиндр О, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, намотан трос, на свободном конце его подвешен груз А весом Р (рис. 23).

Определить давление на ось цилиндра, если груз опускается с ускорением а, а вес цилиндра равен Q.

.

.

.

.

№ 38

Два однородных стержня соединены шарниром С и расположены так, что СД перпендикулярен АВ (рис. 24).

Определить перемещение стержня АВ, если стержень СД упадет на горизонтальную плоскость. Сопротивления движению не учитывать. Вес стержня АВ — 2Р, стержня СД — Р, АС = ВС = СД = l. В начальный момент система покоилась.

.

Нет верного ответа.

.

№ 39

Груз весом G поднимается при помощи блочного приспособления (рис. 25).

Определить величину реакции оси блока если груз М весом Р опускается с ускорением а. Трением и весом блоков пренебречь.

.

.

.

.

№ 40

На каком рисунке (26 или 27) верно изображены силы, приложенные к ведущему и ведомому колесам автомобиля?


Курс лекций по основам технической механики