Техническая механика Контрольная работа Курс лекций Лабораторные работы

ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ

Кинетическим моментом системы или главным моментом количеств движения системы относительно некоторого центра О называется вектор , равный геометрической сумме векторов моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра:

(1)

Проекции вектора  на оси Оxyz — называются кинетическими моментами системы относительно осей координат.

Кинетическим моментом системы относительно оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно той же оси:

; ;

(2)

Вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью  (рис. 28).

Разобьем тело на отдельные материальные точки и возьмем одну  массой . Ее расстояние до оси  — , количество движения . Найдем момент , где . Тогда . По определению .

Итак, 

(3)

Вывод. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Вычислим кинетический момент тела относительно оси С, перпендикулярной к плоскости движения Oхy тела и проходящей через его центр масс С.

Пусть плоская фигура S движется в своей плоскости Охy (рис. 29). Найдем  — кинетический момент фигуры относительно С . Найдем , так как , то .

Тогда , (8)

где   — момент инерции тела относительно оси С.

Сравнивая выражение (3) и (4), видим, что кинетический момент относительно осей Oz и С одинаков.

Рассмотрим теорему об изменении кинетического момента системы в абсолютном движении.

Пусть имеем систему, состоящую из n точек. Возьмем произвольную точку массой  и запишем для нее теорему об изменении момента количества движения точки в векторной форме (). Точка взята из системы, значит и . Подобные равенства напишем для каждой из n точек системы и все их просуммируем. В результат получим ; по свойству внутренних сил  Внесем знакпод знак производной: , но  (по определению).

Имеем

.

(5)

Равенство (5) выражает теорему об изменении кинетического момента системы в векторной форме: производная от кинетического момента системы относительно некоторого центра по времени равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно того центра.

Спроектировав равенство (5) на оси координат, получим

.

(6)

Равенства (6) выражают рассматриваемую теорему в скалярной форме: производная о кинетического момента системы относительно некоторой оси по времени равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно той же оси.

Частные случаи

Если , то  отсюда закон сохранения кинетического момента системы относительно центра О.

Если , то , закон сохранения кинетического момента системы относительно оси z

Теперь рассмотрим теорему об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс.

Пусть Оxyz — неподвижные оси, относительно которых перемещается система с центром масс С, оси Сx’y’z’ перемещаются поступательно вместе с центром масс С системы (рис. 30), при этом оси Cx’y’z’ имеют ускорение , равное ускорению центра масс. Докажем, что теорема об изменении кинетического момента системы в выбранной неинерциальной системе координат будет иметь тот же вид, что и в неподвижной инерциальной системе координат.

Изучая динамику относительного движения, выяснили, что в инерциальных осях Cx’y’z’ все уравнения динамики можно составлять так же, как и в неподвижных осях, если к действующим на каждую точку Aj системы силам  и  прибавить переносную силу инерции  и кориолисову силу инерции . В данном случае переносное движение осей Cx’y’z’ поступательное и , а . Уравнение (5) в осях Cx’y’z’ примет вид

  . (7)

Но по свойству внутренних сил . По определению кинетического момента системы ,

где  — скорость  в подвижной системе Cx’y’z’.

Вычислим .

Но точка С есть начало координатных осей Cx’y’z’. Поэтому  и . Тогда .

Теперь уравнение (7) примет вид

(8)

Сравнивая этот результат с уравнением (5), видим, что для осей, движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.


Курс лекций по основам технической механики