Техническая механика Контрольная работа Курс лекций Лабораторные работы

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ ВОПРОСАМ

№ 1

Центр масс системы — это геометрическая точка, положение которой определяется координатами или радиус-вектором:

; ( или   ).

Из формул видно, что положение центра масс не зависит от сил, действующих на систему, а значит и от среды, а зависит от масс точек системы и от расположения их (т. е. от координат xj, yj, zj и от mj). Верен ответ 3. Остальные ответы не верны.

№ 11

Чтобы вычислить момент инерции диска относительно диаметра АВ, построим оси координат с началом в центре диска. Ось ОХ направим по диаметру АВ, ОУ — перпендикулярно АВ, а ось OZ перпендикулярно плоскости диска (рис. 53), при этом знаем, что ; ; ,

так как .

Верен ответ 2.

Ответ 1. .

Ответ 4. Взято Iz для тонкого кольца, равное mr2, вместо Id диска.

Ответ 3. относительно оси, проходящей через конец прямолинейного однородного стержня, перпендикулярно ему. Эти ответы неверны.

№ 12

Проводим через C ось l || l1 (рис. 51). Момент инерции диска относительно оси, проходящей вдоль диаметра:

,

тогда .

Верен ответ 4.

В ответе 1 взято равным .

В ответе 2 взято равным .

В ответе 3  взято равным Il.

Ответы 1–3 неверны.

№ 13

Смотрите ответ к задаче № 11, так как , а .

Верен ответ 4, остальные неверны, так как неверен .

№ 14

Ответ 1 неверен. Радиус инерции цилиндра и радиус цилиндра — это не одно и то же (рис. 52). Чтобы найти , воспользуемся формулами:

; ; .

Верен ответ 2.

Ответ 3 неверен. Вместо  записан Iz.

№ 15

Чтобы вычислить Iz (рис. 54), воспользуемся теоремой о моментах инерции относительно параллельных осей. Моменты инерции диска относительно каждого из его диаметров одинаковы.

Выберем диаметр АВ, параллельный касательной : .

Тогда .

Верен ответ 2. Остальные ответы неверны.

Ответ 1.  (относительно центра О).

Ответ 3:  (относительно диаметров).

Опустив значок около I, обозначающий ось, относительно которой считается момент инерции, допускаете грубую ошибку. Не забывайте обозначать ось, относительно которой считаете момент инерции. Ответ 4:  (для кольца).

№ 16

Ответ 1 неверен. Это запись момента инерции стержня относительно оси AZ:  (рис. 55). Находим

Верен ответ 3. Ответ 2 неверен, ошиблись в расчете.

№ 17

Верен ответ 1. Вычислим момент инерции пластинки относительно оси Oz (рис. 56). Для этого площадь прямоугольника ОАВС разобьем прямыми, параллельными оси Оу, на бесконечно узкие полоски. Будем рассматривать каждую полоску как прямолинейный отрезок массы mj. Тогда момент инерции полоски относительно оси Oz будет равен , по формуле (3) темы 2. Тогда .

Используя теорему о моментах инерции относительно параллельных осей, имеем ; .

Верен ответ 1. Остальные ответы неверны.

№18

Разобьем стержень на п элементарных частиц (рис. 57). Возьмем одну такую частицу Aj,ее масса mj, расстояние AjС = lj. Тогда , так как , то , но

.

Подставим значение IC в формулу, полученную для IZ:

.

Верен ответ 1.

Ответ 2. Ошибка в счете .

В ответах 3, 4 неверно взята длина: АВ = а вместо 2а. Поэтому  и . В ответе 4 к тому же вместо  взято .

№ 19

Верен ответ 1. Найдем Iy. Для этого разобьем прямоугольник прямыми, параллельными оси у, на бесконечно узкие полоски (рис. 58). Будем рассматривать каждую полоску как прямолинейный отрезок массы mj. Тогда по формуле (3) темы 2 момент инерции полоски относительно Оу будет равен , а момент инерции всего прямоугольника ,

где  — масса прямоугольника.

Теперь из формулы (1) темы 2 найдем ,

но  м.

В ответе 2 вместо  взят Iy и поэтому  м.

Ответ 2 неверен. В ответе 3 неверно применяется формула (1) темы 2:

 и  м.

№ 20

Верен ответ 3. Момент инерции круга относительно диаметра (оси Оx, рис. 59) равен  (см. ответ к № 14). По теореме о моментах инерции относительно параллельных осей:

.

В ответе 1 вместо IX взят , кроме того, неверно применена теорема о моментах инерции относительно параллельных осей:

,

так как АВ непараллельна Oz. В ответе 2 вместо IAB взят IX, что тоже неверно.

№ 21

Рассмотрим движение системы, состоящей из бревна, которое движется поступательно, и двух катков, совершающих плоскопараллельное движение (рис. 60).

Количество движения этой системы ;  выразим через скорость центра масс , что видно из распределения скоростей точек катка (см. рис. 60): ; ; .

Верен ответ 3. Ответы 1 и 2 неверны. В 1-м ответе неверно считается Q общей массой двух катков, а во втором случае V0 приравнивается V, забывая, что у центра катка скорость .

№ 22

Рассмотрим движение системы, состоящей из двух точек А и В и стержня АВ (рис. 61). Количество движения этой системы

; ; ; ;  ; ; n = 10 oб/мин;

 с–1;  ;  ; ;

 ; ; , так как ;  кгм/с. .

Верен ответ 2.

Ответ 1 неверен, так как не соблюдается система единиц, см не переведены в м, а g взято 9,8 м/с2 вместо 980 см/с2. Ответ 3 тоже неверен, так как вектор направлен в противоположную сторону векторам  и  и его следует вычесть из суммы 2 остальных , а вы сложили, не учтя направления .

№ 23

Ответ 1 неверный. , но  в относительном движении диска вокруг оси ВС (рис. 62), так как центр диска лежит на этой оси. Тогда
К = К1 + К2; ;; ; ; ; .

Верен ответ 2. Ответ 3 неверен: . Ответ 4 неверен: .

№ 24

Рассмотрим движение системы лодка — человек (рис. 63). Запишем для этой системы теорему об изменении количества движения системы в проекции на ось х в интегральной форме .

   ;

 ;  ;

 ; .

При Vл = 0 ;  .

Верен ответ 1. В ответе 2 неверно вычислена проекция импульса :

; ;

.

№ 25

Применяем теорему об изменении количества движения системы в проекции на ось х. Но так как Reх = 0, то .

 ;  ;

приравнивая  и : ; , имеем

 .

Верен ответ 3.

В ответе 1 неверно вычислена скорость человека: ;

; .

В ответе 2 КХ вычислено верно. Но , так как . Тогда ; .

№ 26

Количество движения системы (рис. 64)

;  ; . Так как  то

.

Верен ответ 3. Ответ 1 неверен.

,

но  , так как .

Ответ 2 неверен, перепутаны VA и VC .

 и .

№ 27

Верен ответ 3. Система состоит из двух точек А и В (рис. 65).

; ; ; ; ; ; ;  ;  и .

Стержни ОА и ОВ лежат в плоскости Оyz и проекции их скоростей

; ; ;

;

;

. .

Остальные ответы неверны. В первом ответе  — количество движения только в относительном движении шаров. Векторы , неверно складываются.

Во втором ответе  считается только в переносном движении и тоже неверно считается сумма векторов .

В четвертом ответе ошибка в проекции, .

№ 28

Система состоит из двух колес (рис. 66).

, но ; .

Верен ответ 1. Остальные ответы неверны: в ответе 2 ; в ответе 3 ; .

№ 29

Система состоит из двух точек М1 и М2 и стержня (рис. 67). Стержень невесомый ; ; ; , так как ; то . Верен ответ 2.

Ответ 1 неверен, так как . Ответ 3 неверен, так как  и направлены в одну сторону .

№ 30

Верен ответ 4.  (рис. 68); ; . .

; ; ;

.

; .

Знак минус говорит о том, что параллелепипед будет перемещаться в сторону, противоположную перемещению груза А относительно параллелепипеда.

В ответе 1 неверно считаются скорости.  и  и ; .

В ответе 2, как и в первом ответе  и считается неверно, так как . ; .

В ответе 3 КХ найдено неверно.

;.

№ 31

Не может. На человека (точку М), прыгающего в воду (рис. 69), кроме силы тяжести, никакие внешние силы не действуют, поэтому ; , так как ; ; ; ; ; ; ; .

Уравнения движения данной точки:

Исключая переменную t, найдем  — уравнение параболы. Траекторией прыгуна будет парабола при любой скорости . Под действием силы тяжести точка всегда перемещается только по параболе, т. е. траектории своей прыгун изменить не может.

№ 32

Теорема о движении центра масс говорит о том, что центр масс системы движется согласно закона , или . Если , то ; если , то .

Верен ответ 3. Ответ 2 неполный. Ответ 1 предполагает отсутствие перемещения центра масс только вдоль оси х.

№ 33

Верен ответ 2. Внутренние силы не влияют на движение центра масс, потому что его движение происходит согласно равенства , куда внутренние силы не входят.

№ 34

Верен ответ 1, так как ускорение центра масс , лежащего на оси вращения, равно нулю, то и . То же самое получим в ответе 2, если вместо аС подставим значение и в ответе 3 положим rC = 0 для точек, расположенных на оси вращения. Эти ответы верны тоже. Поэтому следует считать верным заключение, выраженное ответом 4.

№ 35

Так как на стержень АВ (рис. 70) никакие силы кроме веса Р и нормальной реакции N, не действуют, а их проекции на ось х равны 0 и стержень в начальный момент неподвижен, то . Для выполнения этого условия () необходимо, чтобы точка С перемещалась только по прямой, параллельной оси Ау. Верен ответ 1.

№ 36

 Верен ответ 1. На основании теоремы о движении центра масс

.

Найдем  (так как вращение стержня (рис. 71) равномерное):

;

.

Направлен , как и  от С к О. Но , так как ; .

Ответ 2 неверен. Ответ 3 неверен, так как ; .

№ 37

Для решения задачи используем дифференциальное уравнение движения центра масс: ;  (рис. 72). ; ; ; ; ; .

Верен ответ 4. В ответах 2 и 3 неверно найдена сумма проекций сил на ось у. В ответе 1 не учитывается движение системы, сила N найдена в равновесном положении.

№ 38

Используем теорему о движении центра масс: ; , так как  и , то ;  (рис. 73), ;  (рис. 74). ; ; .

Верен ответ 3. Остальные ответы неверны. В ответе 1 не учитывается знак минус координаты . В ответе 2 неверное заключение. В ответе 4 координата  неверна, ; .

№ 39

Верен ответ 4. Запишем для этой системы дифференциальное уравнение центра масс: ;  (рис. 75); ; ; ; ; ;  ; .

В ответе 1 найдена статическая реакция. В ответе 2 неверно найдено ускорение . В ответе 3 не учитывается направление .

№ 40

Верен ответ 2 (см. рис. 27).

Движение автомобиля можно объяснить, используя теорему о движении центра масс. Действительно, силы давления газа в двигателе являются силами внутренними, они не могут привести в движение систему. Движение происходит за счет сил трения, приложенных к колесам со стороны дороги. Двигатель передает ведущему колесу вращающий момент (рис.76). При этом точка касания В стремится скользить влево, а к колесу будет приложена сила трения, направленная вправо. Эта внешняя сила и позволяет двигаться автомобилю вправо (см. рис. 76).

К ведомому колесу (рис. 77), не связанному с двигателем, приложена сила давления на ось Р, параллельная пути. Под ее действием все колесо, а с ним и точка касания А колеса о грунт стремится сдвинуться вперед, а сила трения будет направлена назад. Она тормозит движение и является тоже внешней.

В ответе 1 (см. рис. 26) неверно обозначены колеса.

Если вращающий момент , оба колеса становятся ведомыми (рис. 78). Движение автомобиля по гладкой плоскости (без внешних сил) невозможно.

№ 41

Если провести через центр тяжести танцора ось Oz то внешние силы (вес человека и нормальная реакция плоскости) будут параллельны оси (если пренебречь силами трения). Тогда по теореме о кинетическом моменте ; ; ; где .

Если танцор увеличит момент инерции, например разведением рук в стороны, то скорость вращения уменьшится и наоборот. Следовательно, изменяя момент инерции, танцор может изменять в танце свою угловую скорость. Верен ответ 1.

№ 42

Рассмотрим движение системы, состоящей из вращающегося стержня и двух точек. Внешние силы веса  и реакции опор С и D относительно оси z моментов не создают. Следовательно,  и ; найдем  и

. (рис. 79).  (рис. 80). Но , тогда ; тогда .

Верен ответ 4.

Ответ 3 неверен. Перепутано условие задачи и взято за начальное положение точки А1 и В1, за конечное — А, В.

В ответе 2 , это неверно, так как ; , то и ; и .

Ответ 1 будет верен, если точки А и В не будут перемещаться, а они переместились.

№ 43

Неверен ответ 3. Так как все векторы количеств движения лежат в одной плоскости, то кинетический момент этой системы  относительно оси z и относительно центра О одинаков:

,

где ;

 — кратчайшее расстояние от оси Oz или центра О до ;

 не является кратчайшим расстоянием от центра О до ;

 не является моментом количества движения .

№ 44

Теорема об изменении кинетического момента системы в скалярной форме пишется так: , если , то .

Верен ответ 3. Ответы 1 и 2 перепутаны. Ответ 4 неверен, так как , если , то .

№ 45

 (рис. 81).

1.  — верно.

2. ;  — верно.

3.  — верно.

4. . Ответ 4 неверен.

№ 46

Верен ответ 3.

Для решения задачи применим теорему об изменении кинетического момента системы: (силы P, Q параллельны Oz, реакции опор пересекают Oz (рис. 82)).

; ; где ; ;

тогда ; найдем ; но . Тогда ; получим .

Ответ 1 неверен, так как .

Ответ 2. ; .

№ 47

Верен ответ 1.

На данную систему действуют силы тяжести и реакции опор. Все они пересекают ось z (рис. 83), следовательно, ; ; .

; .

В ответе 2 , .

В ответе 3 ошибка в счете. ; .

№ 48

 (рис. 84). ; ; ; ;, так как . Получим .

Верен ответ 2.

Ответ 1 неверен, так как ; .

Ответ 3. ; . Потерян момент количества движения пули.

В ответе 4 неверно вычислен момент инерции доски: ; ; ; ; .

№ 49

Момент количества движения точки относительно центра О  — векторная величина. Кинетический момент системы  (рис. 85) будет тоже вектором , т. е. равенства (2) и (3) верны, неверен ответ 1.

№ 50

Верен ответ 2. Применим теорему об изменении кинетического момента системы (рис. 86): ; ; ; .

, где . . .

Ответ 1 неверный, так как , то  и , .

В ответах 3, 4 ошибки в вычислениях .

№ 51

Неверен ответ 1. Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение (рис. 87), энергию нельзя считать по формуле , как для поступательно движущегося тела. В данный момент ; . Скорость всех точек звена АВ определяются как вращательные вокруг м. ц. с. точки В и энергию АВ можно считать как энергию тела, вращающегося вокруг точки В

; ; .

Ответ 2 верен. Энергию АВ можно считать и по общей формуле , как энергию тела, совершающего плоскопараллельное движение: .

Ответ 3 верен.

№ 52

Кулиса О1В совершает вращательное движение (рис. 88). Ее энергия .

Верен ответ 4. Чтобы найти ωК, рассмотрим движение точки А. Ее движение сложное.

; ; ; ; ;

; .

Ответы 2 и 3 неверны. Записана энергия тела в поступательном (2) и плоскопараллельном движении, а кулиса совершает вращательное движение и ее энергия вычисляется по формуле .

Здесь  — момент инерции относительно оси вращения. В данном случае ; , поэтому ответ 1 нельзя считать верным.

№ 53

Неверен ответ 3. Такой была бы энергия диска, если бы его тащили волоком по плоскости, т. е. перемещали поступательно. На самом деле, кроме поступательного движения у диска есть еще и вращение, и его энергия ищется как сумма двух энергий: в поступательном движении со скоростью  и вращательном вокруг оси С .

Ответ 2 верен. Верен и ответ 1. Скорости всех точек диска определяются как вращательные вокруг м. ц. с. Р, а потому Т можно считать как энергию вращения вокруг Р, т. е. .

№ 54

Верными являются ответы 1 и 3. В общем случае шатун АВ совершает плоскопараллельное движение и его энергию следует считать по формуле, записанной в ответе 1. Но в данный момент времени , . Имеем случай мгновенно-поступательного движения и энергию АВ можно считать как энергию в поступательном движении:

 (ответ 3).

Неверен ответ 2. , вращение в этот момент у шатуна отсутствует, нет и энергии вращения. Поэтому ответ 2 неверен. Кроме того, есть еще одна ошибка, вместо  поставлена .

№ 55

Верен ответ 3. Цилиндр движется поступательно вместе с колодкой вдоль плоскости, и его энергия .

Итак, если катиться по плоскости цилиндр не может, то  и его скорость во вращательном движении и энергия равны 0. Поэтому ответы 1 и 2 неверны.

№ 56

Рассмотрим движение системы, состоящей из невесомого стержня и двух точек А и В (рис. 89). Энергия этой системы

.

Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии . , так как система в момент  неподвижна.

; ; ; ; ; приравняв Т и : , получим .

Верен ответ 1. Остальные неверны. В ответе 2 неверно считается , потому что  и нельзя писать в формуле просто V ,нужно указать, скорость какой точки берется. В ответе 3 неверно вычисляется работа:

; вместо ; .

В ответе 4 неверно находится  и ; .

№ 57

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий двух данных точек. Энергия одной точки , тогда системы .

Верен ответ 3. Ответ 1 неверен, вместо энергии системы записана энергия одной только точки. Неверен и ответ 2: . Поскольку есть верный ответ среди данных ответов, заключение 4 неверно.

№ 58

В первом случае диск вращается вокруг неподвижной оси (рис. 90 а). Его энергия ; , где .

Во втором случае его движение будет плоскопараллельным (рис.90 б). Его энергия

; ;

.

Сравнивая, видим, во втором случае энергия в 3 раза больше. Верен ответ 2. Ответ 1 неверен.  нельзя считать как энергию тела в поступательном движении:

, поэтому .

Ответ 3 тоже неверен. Совершенно неверно считать энергию  только как энергию вращения, т. е. .

Ответ 4 неверен. Верный ответ 2.

№ 59

Верен ответ 4. Шайба вращается вокруг оси О с угловой скоростью w. Ее энергия ; ; .

Остальные ответы неверны. В ответе 1 записана энергия тела при поступательном движении, а нужно при вращательном. В ответе 2 записана формула для вычисления энергии тела, вращающегося вокруг центра тяжести, а данное тело вращается вокруг точки, лежащей на ободе, и его энергия не , а , как в 3-м и 4-м случаях. Но в ответе 3 исходная формула взята верно, а момент инерции — нет. Нужно  посчитать по теореме о моментах инерции относительно параллельных осей:,

т. е. .

№ 60

Верен ответ 4. Действительно, когда цилиндр скользит по плоскости, его энергия , как энергия тела в поступательном движении. Если же цилиндр будем катить по плоскости, то энергия его , т. е. как энергия тела в плоскопараллельном движении. Подставив значение , имеем

, так как . Сравним энергию цилиндра в том и другом случае. Во втором случае она больше на . Остальные ответы неверны.

В ответе 1 энергия изменится, так как изменится вид движения. Цилиндр, кроме поступательного движения будет еще участвовать во вращательном движении и добавится энергия этого вращения. В ответе 2 . Формула применяется верно, но  считается равным , как для полого цилиндра, а у нас сплошной цилиндр, для него , следовательно, .

В ответе 3 , потому что вычислена энергия только во вращательном движении вокруг С, но не подсчитана энергия в поступательном движении вместе с центром масс.

№ 61

 Верен ответ 4. ; ; ; ; ; .

Ответ 3 неверный. Нужно было перевести  в  по формуле ; .

Ответ 2 неверный. ,  следует перевести в радианы на секунду.

Ответ 1 неверный. Неверно считается

.

№ 62

Для решения задачи применим теорему о кинетической энергии системы, рассматривая колесо (рис. 91) как систему точек: , так как система неизменяемая, . В начальный момент система неподвижна, . Вычислим кинетическую энергию колеса:

.

Работа внешних сил: ; ; . Тогда ; .

Верен ответ 1. В ответах 2 и 3 неверно считается кинетическая энергия колеса. ; , так как движение колеса не является ни поступательным, ни вращательным. Колесо совершает плоскопараллельное движение. Его энергия .

№ 63

Запишем теорему о кинетической энергии системы (стержень на рис. 92 — система точек) . ( — система неизменяемая).

; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Стержень совершает вращательное движение и его энергия .

Верен ответ 2.

В ответе 1 неверно считается кинетическая энергия стержня , потому что движение стержня не является поступательным. Заключение в ответе 3 неверно, так как есть верный ответ (2) среди двух приведенных ответов.

№ 64

Стержень (рис. 93) совершает плоскопараллельное движение и его энергия , (где С — центр масс стержня). Зная скорость точки А (), найдем скорость точки С и угловую скорость стержня. Для этого найдем м. ц. с. стержня АВ. Он находится в точке , с помощью этого центра найдем  и :

; .

Подставим значения  и , имеем , где

Верен ответ 3. В ответах 1 и 2 энергия стержня считается как энергия тела в поступательном (1) или вращательном (2) движениях. Но движение стержня плоскопараллельное, и энергия его равна сумме энергий в поступательном и вращательном движениях стержня, т. е. .

В ответе 4 кинетическая энергия стержня считается верно, как сумма энергий, но неверно считается

; .


Курс лекций по основам технической механики