Теория электрических цепей Лабораторные работы

Лабораторная работа №6

Исследование переходных процессов в RLC-цепях

Цель работы

Экспериментальные и теоретические исследования переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка с двумя реактивными элементами.

2. Краткая теория

Рассмотрим переходный процесс в электрической цепи при периодическом подключении её с помощью ключа K (см. рис. 1) к источнику ЭДС. Это позволяет вырабатывать прямоугольные импульсы напряжения, действующие на R, L, C-цепь. Воздействие импульса длительностью, превышающей время переходного процесса электрической цепи, можно рассматривать как воздействие на цепь постоянной ЭДС Е. После окончания действия импульса, во время паузы, напряжение отсутствует, и этот режим работы цепи будет соответствовать мгновенному переключению ключа K из положения 1 в положение 2. При этом заряженный конденсатор будет разряжаться. Таким образом, переходные процессы в рассматриваемой R, L, C-цепи при воздействии прямоугольных импульсов следует рассматривать в двух режимах:

- включение электрической цепи под действие постоянного напряжения (рис. 1);

- разряд заряженного до напряжения E конденсатора через цепь R, L (рис. 5).

За счет применения электронного ключа и периодического переключения его из положения 1 в положение 2 и наоборот, появляется возможность наблюдать на экране осциллографа неподвижные осциллограммы для этих режимов.

. Включение последовательного RLC-контура на постоянное напряжение

Переходный процесс, протекающий при включении RLC-цепи к источнику постоянного напряжения Е (рис. 1), описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, составленным по второму закону Кирхгофа

 , где . (1)

   

 Рис. 1 Рис. 2

Объединив два соотношения в (1), получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для напряжения на ёмкости

.  (2)

 Для решения (2) составим характеристическое уравнение. Для чего в нём заменяется , а правую составляющую уравнения примем равной нулю

.  (3)

 Характер свободной составляющей переходного процесса для всех токов и напряжений одной и той же цепи одинаков, зависит только от параметров R, L и C определяется корнями характеристического уравнения (4):

.  (4)

 В зависимости от знака подкоренного выражения D решение для свободной составляющей напряжения на емкости имеет три вида:

1. , два действительных отрицательных корня - р1 и р2, процесс апериодический

;  (5)

2. , два комплексно сопряженных корня , процесс колебательный

;  (6)

3. , два равных действительных отрицательных корня , процесс критический

. (7)

В (5)…(7) , ,  и  - постоянные интегрирования, - коэффициент затухания колебательного процесса, - частота собственных затухающих или свободных колебаний цепи.

Для исследуемой схемы можно найти из (4) значение сопротивления R, при котором значение . Такое сопротивление называется критическим Rкр и определяется выражением

 . (8)

Для колебательного процесса коэффициенты  и  связаны между собой, а также с параметрами цепи следующими соотношениями:

; (9)

,  (10)

где  - резонансная угловая частота последовательного колебательного контура.

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий для искомого тока или напряжения. Так, для напряжения на емкости в колебательном режиме получаем систему из двух уравнений:

.  (11)

Положим, что к моменту подключения напряжения Е в схеме (рис. 1) нулевые начальные условия  и . Для определения начального значения производной напряжения записывается уравнение по второму закону Кирхгофа для момента времени :

  (12)

Из (12) следует, что

;

  и .

Подставив начальные значения в систему уравнений (11) и с учетом , получим постоянные интегрирования А и  

 и . (13)

На рис. 2…4 изображены графики переходных процессов для напряжения на ёмкости , напряжения на индуктивности  и тока в цепи , где кривые 1 соответствуют апериодическому переходному процессу, кривые 2 соответствуют колебательному переходному процессу, кривые 3 соответствуют критическому переходному процессу. Эти кривые соответственно возникают при переключении ключа K из положения 2 в положение 1.

 

 Рис. 3 Рис. 4

  На рис. 4. проведены графики тока в цепи  и показано как по графику, соответствующему колебательному процессу (кривая 2), можно определить составляющие корней характеристического уравнения: коэффициент затухания , где  - постоянная времени, равная длине подкасательной к огибающей кривой свободных колебаний; частота свободных затухающих колебаний тока или напряжения , где Тсв - период колебаний. Для оценки скорости затухания процесса вводится декремент колебания , равный отношению свободной составляющей переходной величины в моменты времени, отличающиеся на период Тсв.

  (14)

 При этом  - называется логарифмическим декрементом колебания, из чего можно определить коэффициент затухания:

.  (15)

Разряд конденсатора через R, L – цепь

Рис. 5

Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения , при переключении ключа K из положения 1 в положение 2 разряжается на L и R (рис. 5). Переходный процесс описывается дифференциальным уравнением

  (16)

Значения принужденных составляющих:

.

Характер свободной составляющей зависит от значения корней характеристического уравнения   и рассмотрен в п.2.1. (см. выражения 5, 6, 7).

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий:

. (17)

Решение для колебательного переходного процесса будет иметь вид:

 , (18) 

где ; .

Решение для критического переходного процесса:

.  (19)

Решение для апериодического переходного процесса:

.  (20)

Решения для тока i, напряжения на индуктивности  и на активном сопротивлении   легко получить, используя выражения

 

.

Графики переходных процессов  для всех режимов приведены на рис. 2.

Для колебательного переходного процесса осциллограмма  будет иметь следующий вид:

3. Задание для самостоятельной подготовки.

3.1. По конспекту лекций или одному из учебников [1] ознакомьтесь с расчетом переходных процессов в RLC – цепях.

3.2. Перечертить в отчет измерительную схему рис. 3.

3.3. Вычислить критическое сопротивление , используя (8), приняв  мГн, нФ.

3.4. Произвести расчет начальных условий и принужденных составляющих величин из табл. 1, 2 при помощи законов коммутации и законов Кирхгофа, приняв  В,  .

3.5. Рассчитать апериодический переходный режим при , используя выражения (1) – (5) и (16) – (21) раздела 2.

3.6. Рассчитать затухающий колебательный режим при , используя выражения (6), (9 – 13) раздела 2.

3.7. По полученным аналитическим выражениям построить графики зависимостей данных аналитических величин в функции времени.

4. Методические указания по проведению работы.

4.1. На лабораторном модуле собрать схему рис. 1, используя в качестве ЭДС источника генератор прямоугольных импульсов  (), рассчитанное значение ; нФ;  мкФ.

4.2. Подключить к генератору осциллограф или ПК. Включить стенд и генератор прямоугольных импульсов. Установить частоту следования импульсов 200 Гц ( Т=5 мс ) и В. Отрегулировать развертки и усиление канала Х осциллографа, чтобы на экране помещался один - два периода .

4.3. Снять осциллограммы тока , напряжения на ёмкости  и индуктивности .

4.4. Установить значение R из раздела 3, при котором наблюдается апериодический переходный процесс.

4.5. Повторить опыт 3 раздела 4.

4.6. Определить по снятым осциллограммам начальные и установившиеся значения исследуемых величин.

4.7. Результаты измерений занести в табл. 1.

4.8. Установить значение R, соответствующее затухающему колебательному процессу из раздела 3 и снять осциллограммы , .

4.9. Определить по снятым осциллограммам коэффициент затухания , угловую частоту   и период затухания колебаний Т.

4.10. Результаты измерений занести в табл. 2.

Таблица 2

Т, с

, с

, с-1

tпп, с

Включение цепи под действие источника

Расчет

Опыт

Короткое замыкание источника (E=0)

Расчет

Опыт

5. Контрольные вопросы

5.1. Какой процесс называется переходным? Что называется принужденной и свободной составляющей переходного процесса?

5.2. Сформулируйте законы коммутации.

5.3. Как определяются зависимые начальные условия? Для цепи рис. 8   В,  Гн,  кОм, мкФ определить и .

5.4. Для цепи рис. 9  В,  кОм,  Гн, мкФ определить и .

5.5. Как по графикам определить постоянную времени? Каков её физический смысл?

5.6. Как составляется характеристическое уравнение и для чего оно необходимо?

5.7. Чем определяется порядок электрической цепи?

5.8. Для цепи рис. 8, В,  кОм,  Гн, мкФ определить корни характеристического уравнения и записать в общем виде решение для тока в цепи.

5.9. Для цепи рис. 9, В,  кОм,  Гн, мкФ определить корни характеристического уравнения и записать в общем виде решение для напряжения на конденсаторе.

5.10. Как по графикам переходного процесса для колебательного режима определить  - декремент затухания и  - частоту свободных колебаний цепи? 

5.11. Как определяются постоянные интегрирования (на примерах для второго порядка)?

5.12. Какой разряд конденсатора называется апериодическим?

5.13. Какой разряд конденсатора называется колебательным?

Характеристики и параметры реальных элементов электрических цепей постоянного тока