Матричная запись уравнений электрической цепи Расчет разветвленных однофазных цепей переменного тока РАСЧЕТ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ И ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ Теория электрических цепей

Расчет электрической цепи и лабораторные работы по электротехнике

Методические указания для расчета цепей несинусоидального тока (задача 4.1)

Несинусоидальные токи и напряжения в электрических цепях возникают вследствие наличия различных нелинейных элементов, в том числе полупроводниковых и ферромагнитных.

Несинусоидальная функция, удовлетворяющая условию Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье, который можно записать, например, в виде:

,

где  - постоянная составляющая, которая характеризуется нулевой частотой ;

- первая (основная) гармоника, период которой совпадает с периодом несинусоидальной функции. Частота первой гармоники в энергосистеме f(1) = 50. Гц;

- высшие гармоники (вторая, третья и т.д.). Частота k-ой гармоники в k раз выше частоты 1ой гармоники f(1).

Линейные электрические цепи при воздействии несинусоидального напряжения (тока) рассчитываются методом наложения.

Таким образом, расчет заданной цепи надо вести для каждой гармоники и постоянной составляющей отдельно.

Расчет по постоянной (нулевой)составляющей.

Ее частота , следовательно , тогда реактивные сопротивления , а .

Таким образом, по постоянной составляющей индуктивность представляет собой закороченный участок, а емкость – обрыв данной ветви. В итоге получаем резистивную схему замещения цепи.

Величины токов в ветвях определяются только сопротивлениями резистивных элементов R. Напряжения на конденсаторе определяются его схемой включения и рассчитывается из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа.

Расчет по первой(основной)гармонике ведется символическим методом. Сопротивление реактивных элементов в задаче обычно задаются по первой гармонике. Исходя из этого, записываем комплексы сопротивлений всех ветвей

Дальнейший алгоритм расчета зависит от поставленной задачи и подробно рассматривается далее.

Расчет по высшим гармоникам ведется, так же символическим методом, как и по первой, но только необходимо помнить, что реактивные сопротивления  и  зависят от частоты,

 и

т.е. сопротивление индуктивности растет пропорционально номеру гармоники – k, а сопротивление емкости падает обратно пропорционально номеру гармоники.

 

Закон Ома для участка цепи для k-ой гармоники имеет вид:

Более подробно рассмотрено в расчете цепей однофазного синусоидального тока

Следует помнить, что токи и напряжения различных гармоник имеют разные частоты, поэтому нельзя складывать их комплексы, а также строить векторные диаграммы разных гармоник в одной плоскости. 

Методические указания
к расчету переходных процессов

к задачам № 5.1, 5. 2 и 5. 3

Перед расчетом переходного процесса любым методом необходимо определить независимые начальные условия.

Напомним, что к независимым начальным условиям относятся значения токов в индуктивностях  и напряжений на емкостях   в начальный момент времени . Эти величины определяют запас энергии в магнитном и электрическом полях к моменту коммутации и находятся из расчета установившегося режима, существовавшего в цепи до коммутации.

На этом этапе расчета рассматривается электрическая цепь до коммутации (ключ еще не сработал) и в полученной схеме любым известным методом расчета установившихся режимов определяются значения тока в ветви с индуктивностью  и напряжения на емкости   в момент времени  непосредственно до коммутации.

Далее по законам коммутации определяют независимые начальные условия:

.

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА

В классическом методе расчета решение (ток или напряжение) ищется в виде суммы двух составляющих: принужденной и сво­бодной.

Например, для тока имеем:

 ,

где   - принужденная составляющая тока, вид которой определяется только видом источников;  - свободная составляющая тока, вид которой определяется только схемой соединения и параметрами элементов в послекоммутационной цепи.

Последовательность расчета классическим методом:

1.  Определение принужденных составляющих.

Для этого необходимо рассчитать установившийся  режим в послекоммутационной цепи (при).

На этом этапе расчета рассмаривается схема электрической цепи после коммутации (ключ уже сработал), и в полученной схеме для установившегося режима рассчитываются все необходимые токи и напряжения, а также находятся их значения в момент . Полученные токи и напряжения соответствуют принужденным составляющим  и , а также их значениям в начальный момент времени ,

2.  Определение свободных составляющих ведется в несколько этапов:

2.1.Составляется характеристическое уравнение. Для этого, например, записывается комплекс входного сопротивления  относительно любой ветви, затем  заменяется на p, приводится к общему знаменателю, и числитель полученного выражения  приравнивается к нулю: . Получаем характеристическое уравнение.

2.2. Находятся корни характеристического уравнения. Для этого необходимо решить уравнение .

2.3. В зависимости от вида найденных корней записывается выражение для свободной составляющей в общем виде.

Если один корень: ,  то .

Если два корня:

2.4.        Находятся постоянные интегрирования (A, A1, A2, ψ) для свободных составляющих.

Например, для случая с одним действительным корнем:

а) В цепи с индуктивностью рекомендуется определять постоянную интегрирования A для тока в ветви с L. Для этого в выражение  подставляется . В итоге получаем

В цепи с емкостью рекомендуется определять постоянную интегрирования A для напряжения на C, а потом ток. Для этого в выражение  подставляется . В итоге получаем

Значения ,  берутся из расчета независимых начальных условий, а ,  - из расчета принужденных составляющих.

б) Для определения постоянных интегрирования, входящих в выражения для свободных составляющих токов   в ветвях без индуктивности и напряжений  или , необходимо найти соответствующие зависимые (неосновные) начальные условия: ,  и .

Для этого надо составить систему уравнений для мгновенных значений по методу законов Кирхгофа, записать ее для момента   и решить полученную систему относительно искомых значений , . Далее повторить процедуру пункта 2.4 а).

2.5. Записываются выражения для свободной составляющей в окончательном виде.

3. Нахождение тока и напряжения переходного процесса.

 Искомая переходная функция находится как сумма найденных принужденной и сво­бодной составляющих:

.

Цепи со взаимной индуктивностью

Изменение тока в электрической цепи приводит к соответствующему изменению магнитного потока, который, в свою очередь, приводит к появлению ЭДС самоиндукции, обусловленной скоростью изменения потокоцепления y = WФ = Li.

При рассмотрении цепей синусоидальных токов мы познакомились с явлением самоиндукции, то есть возникновением ЭДС в электрической цепи при изменении собственного магнитного потока, обусловленного изменением тока в этой цепи,

.

Однако кроме явления самоиндукции, в электрических цепях синусоидального тока возможно возникновение взаимной индукции. Физически это можно объяснить так: изменение тока в одной цепи вызывает изменение величины потокосцепления взаимной индукции в другой и наоборот. В данном случае говорят, что эти цепи индуктивно связаны.

Для выяснения явлений в индуктивно связанных цепях рассмотрим две катушки (рис. 6.1). Пусть, например, в катушке 1 протекает ток i1, а во второй - ток отсутствует. Тогда i1 вызывает магнитный поток Ф11, который пронизывает все витки первой катушки и вызывает ЭДС самоиндукции. Поскольку катушки находятся достаточно близко друг от друга, то часть силовых линий Ф11 пронизывает витки второй катушки, где Ф21 – это часть Ф11, пронизывающая катушку 2.

Ф11 > Ф21;

y11 = W1 Ф11 – потокосцепление первой катушки;

y21 = W2 Ф21 – потокосцепление второй катушки.

Поделим оба выражения на i1

 ; . 115(6.1)

Аналогичная картина могла бы иметь место при протекании тока во второй катушке:

 ;  . 116(6.2)

Рис.6.1. Индуктивно связанные катушки

Однако поскольку магнитные свойства среды, заполняющей катушки (воздух), неизменны, то M12 = M21 = M – взаимная индуктивность двух катушек (индуктивная связь) – величина неизменная и зависит только от взаимного положения и чисел катушек. Степень индуктивной связи характеризуется коэффициентом связи

  117(6.3)

Расчет разветвленной магнитной цепи