Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Упражнения к занятию:

Определите чётной или нечётной функцией является:

сумма (разность) двух чётных функций; 2) сумма (разность) двух нечётных функций; 3) произведение (частное) двух чётных функций; 4) произведение (частное) двух нечётных функций; 5) произведение (частное) чётной и нечётной функций.

Исследуйте функцию на чётность/нечётность:

; 2) ; 3) ; 4) ;

; 6) .

3. Покажите, что любую функцию , определённую на всех действительных значениях аргумента, можно представить в виде суммы чётной функции  и нечётной функции .

4. Докажите, что:

период функций  и  равен , где  – некоторое положительное число;

период функций  и  равен , где  – некоторое положительное число.

5. Какие из следующих функций являются периодическими?

; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) .

Найдите наименьшие положительные периоды функций.

6. Исследуйте функции на возрастание и убывание на основе определения:

 на ; 2)  на ; 3)  на .

7. Докажите, что:

если функция  возрастает (убывает) на данном промежутке, то функция  возрастает (убывает) на этом промежутке, где  – некоторое действительное число;

если функция  возрастает (убывает) на данном промежутке, то функция  возрастает (убывает) при  и убывает (возрастает) при  на этом промежутке, где   – некоторое действительное число;

если функция  возрастает (убывает) и сохраняет знак на данном промежутке, то функция  убывает (возрастает) на этом промежутке;

если функции  и  возрастают (убывают) на данном промежутке, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

8. Исследуйте функции на возрастание и убывание на основе утверждений, сформулированных в № 7:

, где ; 2) ; 3) .

9. Укажите промежутки монотонного изменения каждой из следующих функций:

1) ; 2) ; 3) .

10. Докажите, что:

если чётная функция, определённая на всём множестве действительных чисел, в интервале  возрастает (убывает), то в интервале  она убывает (возрастает);

если нечётная функция, определённая на всём множестве действительных чисел, в интервале  возрастает (убывает), то в интервале  она возрастает (убывает).

Ответы: 2. 1), 2), 6) чётные; 3), 4), 5) нечётные; 3. Указание: Рассмотрите функции:  и ; 5. 1), 2), 4), 6), 7) периодические с периодами , , , , ; 3), 5) непериодические; 6. 3) Указание: Примените метод «от противного»; 9. 1) промежутки возрастания , промежутки убывания ; 2) промежутки возрастания ;

3) промежутки возрастания , промежутки убывания .

Построение графиков функций с помощью преобразований графиков основных элементарных функций.


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных