Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Пример 1. Постройте график функции .

Решение: Преобразуем квадратный трёхчлен:

.

Итак, нужно построить график функции . Это – график функции , смещённый на  единицу вправо (правило 2), растянутый в  раза вдоль оси  (правило 5) и смещённый на  единицу вверх (правило 1). Конечный график представлен на рисунке 4.

Основной недостаток указанного способа построения в том, что параболу приходится строить четыре раза. Построения будут более экономичными, если рассмотреть вспомогательную систему координат без каких-либо обозначений (на рисунке 4 она показана штриховыми линиями) и в этой системе координат построить график функции . Тогда, перенося оси координат на 1 единицу соответственно влево и вниз, получаем конечный график. Оформляем систему координат (отмечаем начало координат, направление осей, единичные отрезки по осям).

 Приведённый пример показывает, как можно построить график функции вида на основе графика функции . При этом предварительно следует выделить полный квадрат.

Пример 2. Постройте график функции .

 Решение: Выполним преобразования:

 .

 Таким образом, нужно построить график функции . Это – график функции , смещённый на  единицы влево (правило 2), отражённый от оси  (правило 3) и смещённый на  единицы вниз (правило 1). Конечный график представлен на рисунке 5.

Построения будут более экономичными, если рассмотреть вспомогательную систему координат без каких-либо обозначений (на рисунке 5 она показана штриховыми линиями) и в этой системе координат построить график функции . Тогда, перенося оси координат соответственно на  единицы вправо и  единицы вверх, получаем конечный график. Оформляем систему координат (отмечаем начало координат, направление осей, единичные отрезки по осям).

 Отметим, что график данной функции имеет две асимптоты (прямые, к которым график функции приближается, но не пересекает их):   и .

Приведённый пример показывает, как можно построить график функции вида   на основе графика функции . При этом предварительно следует выделить целую часть.

 Пример 3. Постройте график функции .

 Решение: Выполним преобразования:

  Таким образом, нужно построить график функции . Покажем разные способы решения задачи.

Способ 1. Это – график функции , смещённый на  единиц влево (правило 2), сжатый в  раза вдоль оси  (правило 6) и растянутый в раз вдоль оси  (правило 5). Конечный график представлен на рисунке 6.

Способ 2. Запишем функцию в виде . Тогда график данной функции получается из графика функции  последовательным сжатием в 2 раза и переносом на единиц влево вдоль оси , растяжением в раз вдоль оси .

Построения будут более экономичными, если рассмотреть вспомогательную систему координат без каких-либо обозначений (на рисунке 6 она показана штриховыми линиями) и в этой системе координат построить график функции. Тогда, перенося оси ординат на   единиц вправо, получаем конечный график. Оформляем систему координат (отмечаем начало координат, направление осей, единичные отрезки по осям).

Приведённый пример показывает, как можно построить график функции вида на основе графика функции . При этом предварительно следует выполнить преобразования над функцией, умножив и разделив на .

Итак, функцию вида  удобнее записывать в виде . В этом случае преобразования графика вдоль оси абсцисс выполняются в той же последовательности, что и преобразования вдоль оси ординат: сначала растяжение или сжатие, а затем параллельный перенос.

 Практический приём построения графика функции   можно представить следующим образом:

Строим вспомогательную систему координат без каких-либо обозначений в ней.

В этой системе координат строим график функции .

Выполняем параллельные переносы осей координат.

Оформляем систему координат (отмечаем начало координат, направления осей, единичные отрезки по осям).


Стоимость Mazda в Екатеринбурге от Автопродикс Mazda.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных