Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Упражнения к занятию:

1. Постройте графики элементарных функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2. Постройте графики функций с помощью преобразований графиков элементарных функций:

; 2) ; 3) ; 4) ;

; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) .

Построение графиков функций с помощью преобразований графиков основных элементарных функций.

 Пример 1. Постройте график функции .

 Решение: По свойству модуля числа . Преобразуем квадратный трехчлен:

.

Итак, нужно построить график функции . Для этого строим график функции  при  (во вспомогательной системе координат строим график функции  и переносим оси координат соответственно на  единицы влево и  единиц вниз). Далее все точки полученного графика отражаем от оси  (рис. 7).

Правило 8. Чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем всю его часть, лежащую ниже оси , отразить от оси .

Действительно, по определению модуля при  данная функция имеет вид , а при  - , т.е. все отрицательные значения функции должны сменить знак.

Пример 2. Постройте график функции .

Решение: Сначала строим график функции . Для этого график функции  смещаем на  единиц влево и растягиваем в  раза вдоль оси . Далее всю часть построенного графика, лежащую ниже оси , отражаем от оси  (рис. 8).

При построении графика функции вида  сначала нужно воспользоваться правилом 7, а затем правилом 8.

Иногда требуется построить график функции, являющейся алгебраической суммой, произведением, частным других функций или более сложной функцией. При этом одна или несколько из составляющих функций содержат знак модуля. Тогда находят область определения заданной функции и раскрывают модуль по определению, а в более сложных случаях используют способ одновременного раскрытия модулей (способ интервалов). Он состоит в выполнении определённой последовательности действий:

Приравнять к нулю каждое из выражений, стоящих под знаком модуля. Решить полученные уравнения.

Расположить найденные корни на числовой оси.

Отметить на числовой оси область определения функции.

Найденные корни разделят область определения на промежутки. На каждом из промежутков записать функцию, раскрыв модуль.

При этом граничные точки промежутков можно включать в любой или в каждый промежуток, для которого эта точка является граничной.

На каждом промежутке построить график функции, соответствующей этому промежутку.

В результате данная функция представляется в виде функции, заданной на разных промежутках области определения соответствующими формулами, на основе чего строится её график.


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных