Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Пример 3. Постройте график функции .

Решение: Найдём область определения данной функции. Для этого сначала решим уравнение . Учитывая, что  и  при любых действительных значениях , указанное уравнение равносильно системе   Система не имеет решения, значит, область определения заданной функции есть всё множество действительных чисел.

Приравняем к нулю каждое из выражений, стоящих под знаком модуля, и решим полученные уравнения.

 

Расположим найденные корни на числовой оси:

Рассмотрим каждый из полученных промежутков. При  исходная функция примет вид  (это график функции , смещённый на  единицу влево, отражённый от оси  и сжатый в  раза вдоль оси ). При  имеем, что  (это график функции , смещённый на  единицу влево и сжатый в  раза вдоль оси ). При -  (это график функции , смещённый на  единицу вправо и сжатый в  раза вдоль оси ). График заданной функции приведён на рисунке 9.

Способ одновременного раскрытия модулей можно применять и в тех случаях, когда само выражение с модулем находится под знаком модуля. Тогда может использоваться также способ последовательного раскрытия модулей. При последовательном раскрытии модулей сначала раскрывается внутренний модуль, а затем – внешний.

Упражнения к занятию:

Постройте графики функций с помощью преобразований графиков элементарных функций:

; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

 

Пример 1. Постройте график функции .

Решение: Данная функция есть разность функций  и , определенных на всей числовой оси. Поэтому строим графики функций  и . Вычитаем ординаты точек построенных графиков при одних и тех же значениях  (рис. 10).

Отметим, что прямые  и  являются асимптотами полученного графика.

Замечание. Если задана разность двух функций, то ее можно заменить суммой уменьшаемой функции и вычитаемой, взятой с противоположным знаком ().

 При построении графика произведения или частного двух функций для надо предварительно выразить ординаты точек графиков исходных функций числами и лишь, затем умножить (разделить) эти числа с учётом их знаков.

 Пример 2. Постройте график функции  

Решение: Данная функция есть частное функций  и  определенных на всей числовой оси. Поэтому строим графики функций  и . Выражаем ординаты точек построенных графиков числами и делим соответствующие числа с учетом их знаков. Отметим, что при  конечная функция будет неопределенна (рис. 11).

Следует также учитывать, что полученный график есть график четной функции, являющейся частным двух нечетных функций.

Замечание. Если задано частное двух функций, то его можно заменить произведением делимой функции и функции, обратной для делителя ().

 При построении графика функции  по графику функции , учитывают, что функция  определена для тех значений , при которых . Нули функции  задают точки разрыва и вертикальные асимптоты графика функции . Далее используются свойства функции , а именно множество значений, чётность \ нечётность, периодичность, монотонность.

 Замечание. Для построения графика функции  по графику функции  можно также использовать преобразование инверсии относительно оси абсцисс для графика функции .


xiaomi весы обзор
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных