Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Пример 3. Постройте график функции .

Решение: выполним исследование функции , используя свойства функции . Функция определена на всей числовой прямой и равна нулю только при . Следовательно, область определения функции : . Прямая  - вертикальная асимптота графика функции . Функция  принимает все возможные действительные значения, значит и функция  принимает все возможные действительные значения, кроме . Функция  нечетная, следовательно, и функция  нечетная, т.е. ее график симметричен относительно начала координат. Поскольку на интервале  функция  возрастает и сохраняет знак, то функция  на этом интервале убывает. Итак, в качестве вспомогательного стоим график функции  и на основе него получаем график функции  (рис.12).

Отметим, что прямая  является горизонтальной асимптотой полученного графика.

 Определение: Функция называется сложной, если она представлена в виде функции от некоторого аргумента, являющегося в свою очередь функцией независимой переменной.

 Нахождение области определения и множества значений сложной функции удобно осуществлять в виде многошаговой процедуры, на каждом шаге которой находится область определения и множество значений некоторой элементарной функции. При этом решение задач на нахождение множества значений сложной функции существенно упрощается, если учитываются такие свойства как непрерывность и монотонность функций, входящих в сложную.

 График сложной функции обычно строится на основе графиков составляющих ее функций и их свойств.

 Пример 4. Представьте функцию  как сложную. Укажите ее область определения и множество значений. Постройте график.

Решение. Введем обозначения: , . Таким образом, исходная функция есть сложная функция . Функция  определена на всей числовой оси и принимает все значения из интервала . Функция  определена на интервале . Значит область определения данной сложной функции находится из условия  и есть интервал . На указанной области определения функция  принимает все значения из интервала  и является возрастающей. Функция  убывает на области определения. Тогда данная сложная функция является убывающей и принимает все значения из интервала .

.

График данной сложной функции можно построить на основе графиков функций  и  и их свойств (рис. 13). Учитываем также проведенное выше исследование.

Отметим, что прямая  является горизонтальной асимптотой, а прямая  - вертикальной асимптотой полученного графика.

Ответ: , где , ; область определения: ; множество значений: .

Упражнения к занятию:

 1. Найдите область определения суммы, разности, произведения, частного функций и .

2. Постройте графики функций:

1) ; 2) ;  3) ; 4); 5) .

 3. Представьте функцию как сложную

 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Укажите ее область определения и множество значений. Постройте график.

 4. Можно ли из функций  и  составить сложную функцию?

 5. Постройте графики функций: 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных