Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Введение в математический анализ, производная и ее приложения, дифференциальное исчисление функций двух переменных.

Числовые и степенные ряды

1. Введение в анализ

 Функция. Область определения, ее способы задания. Основные элементарные функции и их графики: , , , , , , , , , . Основные понятия: функции четные и нечетные, возрастающие и убывающие, монотонные, периодические. Определения, особенности графиков. Сложная функция (функция от функции), определение. Предел функции в точке. Определение, свойства. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их свойства, связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Первый замечательный предел . Второй замечательный предел . Решение данных примеров на раскрытие неопределенностей , , , , . Определение функции непрерывной на отрезке, в точке. Определение односторонних пределов, классификация точек разрыва.

2. Производная и ее приложения

 Производная функции. Определение, геометрический смысл. Вывод уравнения касательной к линии . Основные правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного, сложной функции). Формулы дифференцирования для основных элементарных функций. Производные высших порядков. Механический смысл  и . Дифференциал функции. Определение, геометрический смысл. Формулировка теорем Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Формулировка правил Лопиталя раскрытия неопределенностей  и , его использование при решении примеров. Теоремы о достаточном условии возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Сформулировать и доказать достаточное условие экстремума. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба графика функций. Как они находятся? Асимптоты графика функций. Как находятся вертикальные и горизонтальные асимптоты? Полное исследование функции, построение графика на данных примерах.

3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

 Частные производные первого и второго порядка для функции двух переменных. Исследование на экстремум функции двух переменных.

4. Ряды

  Числовые ряды. Определение, сумма ряда, необходимый признак сходимости, формулировка признаков сравнения, предельный признак сравнения. Формулировка достаточных признаков сходимости положительных рядов: Даламбера, радикального признака Коши, их применение к исследованию сходимости данного ряда. Ряд  сходится тогда и только тогда, когда . Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда, оценка остатка ряда. Абсолютная и условная сходимость рядов. Степенные ряды. Нахождение области сходимости степенного ряда: радиус сходимости, сходимость на концах интервала. Ряды Тейлора, Маклорена, для основных элементарных функций. Их применение в приближенных вычислениях.

§ 1. Введение в математический анализ

 1.1. Элементарные функции. Следующие функции действительной переменной называются основными элементарными функциями:

 1. Постоянная функция: ,  (рис. 1);

 2. Степенная функция: ,  (рис. 2.a, 2.б, 2.в);

 3. Показательная функция: , ,  (рис. 3.a, 3.б);

 4. Логарифмическая функция: , ,  (рис. 4.a, 4.б);

. 5. Тригонометрические функции: , , ,  (рис 5.a, 5.б, 5.в, 5.г);

6. Обратные тригонометрические функции: , ,

 ,  (рис. 6.a, 6.б, 6.в, 6.г).




Основные элементарные функции, их области определения, свойства, графики изучаются в средней школе. Повторению этого материала посвящены задания 101-110.

  Функция, полученная в результате последовательного выполнения – композиции функций  и , называется сложной функцией:

.

  Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций, примененных к ним, и конечного числа их композиций.

 Например, функция , где , называется линейной, является элементарной, так как она получена с помощью сложения функции, путем умножения постоянной функции   на степенную функцию , и постоянной функции .

 Область определения функции  обозначают  или просто .

 Графиком функции  называется множество

.

всех точек координатной плоскости  с координатами (), причем аргумент  пробегает всю область определения .

 Преобразование графиков. При построении графиков функции часто используют следующие простые геометрические рассуждения. Если Г - график функции , то:

  1) график функции  есть зеркальное отражение графика Г относительно оси ;

 2) график функции  - зеркальное отражение графика Г относительно оси ;

  3) график функции  - смещение графика Г вдоль оси  на величину а;

 4) график функции  - смещение графика Г вдоль оси Oy на величину .

 5) график функции ,  - сжатие графика Г в  раз (при ) или растяжение в  раз (при ) вдоль оси ;

 6) график функции , ,  - растяжение графика Г в b раз (при ) или сжатие в  раз (при ) вдоль оси .


организация свадеб в москве,
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных