Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Пример 1. Найти область определения для данных функций и построить их графики.

 а) ; б).

 Решение. а) Функция определена, если  или . Так как корни уравнения  равны  и , неравенство справедливо в отрезке .

 Итак, : , значения функции . Составим таблицу значений функции и построим ее график

-2

-1

0

1

2

3

4

-2

0,2

0,8

1

0,8

0,2

-2

 Заметим, что эта кривая – часть окружности, в чем легко убедиться ,  или – окружность с


центром в точке , радиусом . Так как  графиком данной функции является верхняя половина этой окружности (см. рис 7.a).

 

 б)Логарифмическая функция определена для положительных аргументов, т. е. , значит D: . График можно построить по точкам, можно преобразовывая график функции , сместив его влево на 1 и сжав в 3 раза вдоль оси (см. рис. 7.б) .

 1. 2. Предел функции

 1. При вычислении предела функции  обычно руководствуются следующими соображениями.

 1) Для всякой элементарной функции  справедливо равенство  при любых .

 2) Если  и функция  определена в некоторой окрестности точки , то вычисление предела (раскрытие неопределенностей вида ) — достаточно сложная задача. Рассмотрим типичные случаи.

 2. Рациональные функции. Если рациональная функция имеет вид , где  и  - некоторые многочлены, причем , то возможны два случая:

 а) , тогда , и б) ; в этом случае непосредственная подстановка  в дробь  приводит к неопределенности вида , которую мы будем условно записывать так: . Для раскрытия неопределенности, как правило, приходится разлагать числитель и знаменатель на множители и сокращать на линейный множитель .

 Примечание. Если , то  принадлежит области определения D функции , и поэтому ее предел в точке  равен значению функции:

.

 Пример 2. Вычислить: .

 Решение. .

 3. Иррациональные функции. Если неопределенное выражение содержит иррациональность, то, умножая на сопряженное выражение числитель и знаменатель, переводят иррациональность из знаменателя в числитель или наоборот.


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных