Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Пример 3. Вычислить: .

 Решение.

.

 4. Предел при . При вычислении предела при  делают замену переменных  (тогда ) либо делят числитель и знаменатель на наивысшую степень , входящую в выражение.

 Пример 4. Вычислить .

 Решение. .

 5. Первый замечательный предел

(1)

 используется при раскрытии неопределенностей вида  в тригонометрических выражениях.

 Пример 5. Вычислить .

 Решение. .

 Пример 6. Вычислить .

 Решение.

.

 6. Второй замечательный предел

  (2)

используют при вычислении пределов вида , где

 

(что дает неопределенность вида ).

 Пример 7. Вычислить .

 Решение.

.

 1.3. Непрерывность функции

 1. Определение. Функция  с областью определения  называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия:

 а) функция  определена в точке , т. е. ;

 б) существует ;

 в) .

 2. Теорема. Все элементарные функции непрерывны в области определения.

 3. Точки разрыва. Если не выполнено хотя бы одно из условий определения (1), точка  называется точкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:

 а) существует, но функция не определена в точке  или .В этом случае  называется точкой устранимого разрыва.

 б) не существует, но при этом существуют оба односторонних предела и они не равны друг другу: 

,тогда точка   называется точкой разрыва I рода.

 в) в остальных случаях точка  называется точкой разрыва II рода.

Пример 8. Исследовать на непрерывность функцию

 Решение. Функция задана на трех промежутках разными формулами. На каждом из промежутков функция непрерывна (см. рис. 8.). Рассмотрим границы промежутков:  и . В точке  замечаем, что

.

Следовательно,  — точка разрыва II рода. В точке  вычисляем:

Таким образом, в точке  функция непрерывна.


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных