Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Производная и ее приложения

Производной функции  называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то производная существует и функция   называется дифференцируемой в точке . Производная обозначается также   или . Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

 Правила дифференцирования функций. Пусть  - постоянная, ,  - функции, имеющие производные.

 1. .

 2. =.

 3. .

 4. .

 5. , .

 6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция   дифференцируемая по , а функция  - по x, то сложная функция  имеет производную .

Таблица производных элементарных функций

 1. .

 1а. . 1б. .

 2. . 2а. .

 3. . 3а. .

 4. . 5. .

 6. . 7. .

 8. . 9. .

 10. . 11. .

 12. (вывод этой формулы дан ниже).

 

 Производные второго порядка. Производной второго порядка (второй производной) от функции  называется производная от ее производной, т. е.

.

Вторую производную также обозначают  или . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д. Производную -го порядка обозначают  или .

 

 

 Пример 1. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные следующих функций:

 1) , 2) ,

 3) , 4) ,

 5) , 6) ,

 7) .

 Решение. 1) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени:. Тогда

.

 2) Записываем данную функцию в виде степени:   и вычисляем: .

 3) Применив формулу 4 правил дифференцирования, находим:

.

 4) Дифференцируя функцию  как сложную находим производную:

.

 5) В соответствии с формулой 5 правил дифференцирования получаем:

.

 6) По аналогии с примером 3 находим:

.

 7) Так как данная функция - показательная, то, согласно формуле 2

 Степенно - показательная функция. Выведем формулу для производной степенно - показательной функции , считая что  и  дифференцируемые функции и .

 Решение. Логарифмируя равенство  и дифференцируя обе части полученного равенства , находим: . Следовательно,. Таким образом, получили .

 Замечание. Степенно – показательная функция дифференцируется как степенная плюс как показательная. Например, производная функции , равна

.


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных