Геометрические приложения производной
Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Геометрические приложения производной

 Теорема. Если кривая задана уравнением , то значение  производной  в точке , равно угловому коэффициенту  касательной к кривой в точке  , где (см. рис 9).

 Уравнение касательной к кривой  в точке  имеет вид:

 или .

 Определение. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

 Угол  между прямыми с угловыми коэффициентами  и  находится по формуле:

,

причем знак “плюс” соответствует острому углу θ, а знак “минус” – тупому.

 Если , то касательные — взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

 Пример2. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

 Решение. График функции  – парабола. Так как  при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная  к параболе и данная прямая  с уравнением  параллельны, значит, их угловые коэффициенты равны:

, , .

Следовательно,  - абсцисса точки касания  параболы и прямой ,  – ее ордината. Таким образом, уравнение касательной   имеет вид:

 или . (рис.10)

 2. 3. Дифференцирование функций, заданных параметрически

 Если функция  задана параметрически двумя уравнениями , , , то ее производные вычисляются по формулам:

.

 Примечание. Производные по аргументу  иногда, следуя Исааку Ньютону, обозначают точками наверху: , , . В этих обозначениях формулы, по которым находятся производные параметрически заданной функции, принимают вид:

, .

 Пример3. Найти  и , если функция  задана параметрически:

.

 Решение. Последовательно находим: , ; ;

; , .

 2. 4. Дифференцирование неявных функций

 Говорят, что уравнение  задает неявно функцию , на интервале , если для всех  выполняется равенство .

 Для вычисления производной функции следует продифференцировать по x тождество , помня, что  есть функция от , а затем полученное уравнение разрешить относительно .

 Пример 4. Найти значение  в точке  для функции, заданной неявно уравнением .

 Решение. Продифференцируем обе части уравнения по   (не забываем, что  зависит от):

, ,

, .


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных