Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Исследование функции и построение ее графика

 Для построения графика функции  сначала проводим элементарное исследование: находим область определения, асимптоты, выясняем некоторые особенности функции (если они имеются), т. е. точки пересечения с осями координат, симметрия, периодичность. Затем, используя первую производную, находим интервалы монотонности, экстремумы, а по второй производной — интервалы выпуклости, точки перегиба.

 Рекомендуется исследование сопровождать последовательным построением графика функции.

 Пример 1. построить график функции .


Решение. 1. Область определения данной функции представляет собой множество  (см. рис. 11).

 2. Пределы функции в точках разрыва и на концах области определения (данная функция имеет одну точку разрыва):

; ; .

 3. Асимптоты. Если , то прямая  — вертикальная асимптота. В нашем случае вертикальная асимптота имеет уравнение . Прямая  является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы

 и .

Так как ; , то наклонная асимптота имеет уравнение .

 Если , то  — горизонтальная асимптота.

 4. Точки пересечения графика с осями координат дают: во-первых, нули функции  (чтобы их найти, необходимо решить уравнение ) и, во-вторых, значение , если . Так как для данной функции , то график проходит через точку О.

 5. Симметрия. Функция  – четная, если ; ее график симметричен относительно оси . Функция  – нечетная, если ; ее график симметричен относительно начала координат. В нашем случае

; ,

т. е.  и , следовательно, симметрии относительно осей координат у графика нет.

 6. Периодичность. Если для некоторого числа  выполняется равенство  для всех , то функция  – периодическая с периодом . Очевидно, наша функция не является периодической.

 7. Находим первую производную: .

 8. Находим критические точки ( т. е. точки, в которых   или

 не существует), отмечаем их на области определения функции (см. рис. 12) - получаем интервалы знакопостоянства производной :

.


Всюду в области определения   первая производная существует.

 9. Промежутки монотонности. Определяем знак производной в каждом интервале. Там, где , функция возрастает ( ); а там, где ,

она убывает ( ).

 Результаты исследования сводим в табл. 1

Таблица 1

0

(0; 1)

1

+

0

0

+

 10. Экстремальные значения (если они есть):

.

 11. Вторая производная: .

 12. Интервалы знакопостоянства второй производной. Находим точки, в которых  или не существует, отмечаем их на области определения функции (см. рис. 13). Получим интервалы знакопостоянства .

, .


Вторая производная существует для всех .

 13. Промежутки выпуклости и вогнутости. Определяем знак производной   в каждом интервале. Кривая является вогнутой при тех значениях аргумента , при которых  (в окрестности точки вогнутости график располагается над касательной к нему в этой точке; в таблице интервал вогнутости будем обозначать символом ). Кривая в точке  является выпуклой, если в этой точке  (в этой точке график располагается под касательной и выпуклостью вверх ). Результаты сводим в табл. 2.

Таблица 2

0

1

+

0

0

+

т. п.

 14. Точки перегиба. Находим значение ,

тем самым определяем точку  — точку перегиба. Касательная к графику в точке  помогает уточнить, в каком направлении проходит в этой точке график. Поэтому полезно вычислить угловой коэффициент этой касательной: и провести в точке  такую часть касательной (обычно около 1 сантиметра), которая делает ясным прохождение кривой в окрестности точки перегиба (см. рис. 14).

 15. Строим график (если необходимо, находим несколько дополнительных точек).


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных