Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Пример 2. Построить график функции .


Решение. 1. Область определения данной функции представляет собой множество  (см. рис. 15).

 Функция определена и непрерывна вне отрезка .

 2. ; , так как .

 3.  и  — вертикальные асимптоты;  — горизонтальная асимптота.

 4.  график не пересекает ось ; :

 ; ; , так как .

 5. 6. нет.

 7-10.  для всех . Следовательно, функция возрастает на интервалах  и .

 11-14. ; имеет знак тот же, что и аргумент :

 – выпуклость вниз, т. е. вогнутость ;

 – выпуклость вверх . Точек перегиба нет.


15. Строим график (см. рис.16).

 Пример 3. Построить график функции .

 Решение. Очевидно, , ,  для всех . Точек разрыва и вертикальных асимптот нет.

, так как ; , так как . Неопределенность  раскрываем, дважды применив правило Лопиталя (см. 2.5.):  — горизонтальная асимптота при .

 Находим первую производную: . Ищем критические точки: , .

0

+

0

0

+

 

 

; ;

; ;

; .

+

0

0

+

т. п.

т. п.

; ;

; .

 Найдем дополнительно значение функции при :

и построим ее график (см. рис.17).


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных