Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Частные производные первого порядка. Частной производной функции   по переменной  называется конечный предел.

,

т. е. чтобы найти частную производную  по , надо  считать постоянной и руководствоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

 Аналогично определяется и производная по : .

 Пример 1. . Найти  и .

 Решение. Полагаем  - равно постоянной: ; Если  - постоянная, то .

 Пример 2. . Найти  и .

 Решение. Если  постоянная, то это степенная функция: , при ,  показательная функция .

 3.2. Частные производные второго порядка.

 ;

 .

Для большого класса функций смешанные производные равны, т. е.

.

 Пример 3. . Убедиться, что смешанные производные равны.

 Решение. ; ,

 ; .

Таким образом, .

 Пример 4. Показать, что функция  удовлетворяет уравнению .

 Решение. Находим ;

. Подставляем найденные выражения в левую часть уравнения

, что и требовалось.


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных