Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Ряды

Числовые ряды

Пусть дана бесконечная числовая последовательность –  Выражение вида  – называется числовым

 рядом,  – общим членом ряда.

 Сумму первых  членов ряда называют - ой частичной суммой

 Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, т.е.. Число называют суммой ряда. Если  или не существует, ряд называют расходящимся.

 Пример 1. Ряд составленный из членов геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда .

 Доказательство. Дан ряд

.

При :  - ряд сходится. Если , то  или не существует, ряд расходится. Итак, ().

 Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то .

Таким образом, если , то ряд расходится.

 Пример 2. Покажем, что ряд  расходится.

 Решение:  - общий член ряда; , значит ряд расходится.

 Перечислим основные достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

 Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

 (1)

 , (2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т. е.  для всех . Тогда, если сходится ряд (2), сходится и ряд (1), если расходится (1), то расходится (2).

 Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда (1) и (2) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

 Признак Даламбера. Если для ряда  существует предел , то этот ряд сходится при  и расходится при .

 Пример 3.  сходится, так как ; ,

.

 Пример 4.  расходится, так как ;

.

 Признак Коши. Если для ряда  существует , то при  ряд сходится, при  расходится.

 Пример 5.  сходится, так как ; ;

 Признак Дирихле. Ряд  сходится тогда и только тогда, когда .

 Пример 6. Гармонический ряд  расходится, так как .

 Пример 7. Ряд  сходится, так как .

 Пример 8. Ряд  расходится, так как его можно сравнивать по второму признаку с гармоническим рядом, который расходится.

~ (при ).

 Пример 9.  сходится, так как ~, ряд  сходится , значит по второму признаку сравнения сходится и данный ряд.

 Для знакочередующего ряда

 для всех , справедлив признак сходимости Лейбница.

 Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т. е.

 1) 2)

 Пример 10.  сходится, так как

 1) ; ; , …, т. е. ...;

 2).

Абсолютная и условная сходимость. Рассмотрим знакопеременный ряд и ряд из абсолютных величин членов ряда

 Если сходится ряд , то сходится исходный ряд и называется абсолютно сходящимся.

 Сходящийся ряд  называют условно сходящимся, если ряд  расходится.

 Пример 11.  сходится (по признаку Лейбница), а ряд

 расходится , значит, данный ряд сходится условно.

 Пример 12.  сходится абсолютно, так как ряд  сходится .

Степенные ряды

 Ряд вида

называется степенным.

Числа , , …, ,… – коэффициенты ряда (действительные числа),   – центр ряда (также действительное число).

 Теорема (об области сходимости степенного ряда):

 Для всякого степенного ряда существует интервал сходимости с центром в точке : , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого расходится.

 На концах интервала  требуется дополнительное исследование.

 Пример 13. Найти интервал сходимости степенного ряда .

 Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда   – этот ряд из положительных чисел, к нему применим признак Даламбера.

; , .

 Если  ряд сходится, при  расходится.

 Рассмотрим концы интервала. При имеем  – расходится, так как ; при  имеем  сходится по признаку Лейбница. Итак, ряд сходится при .


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных