Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Решение типового варианта контрольной работы

Задача №1.

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти:

уравнение стороны AD;

уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;

длину высоты BK;

уравнение диагонали BD;

тангенс угла между диагоналями параллелограмма.

Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

Решение.

Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки , , . Построим отрезки  и .

Рис. 1

Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.

 

Рис. 2

Составим уравнение прямой AD.

а) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки  и , имеет вид

(3.1)

По условию , . Подставим координаты точек  и  в уравнение (3.1): , т.е. .

Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателей  и проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства:  или .

Из этого уравнения выразим : ; . Получили уравнение вида  - уравнение с угловым коэффициентом.

б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку  в данном направлении, имеет вид

 (3.2)

где направление определяется угловым коэффициентом .

Условие параллельности двух прямых  и  имеет вид

  (3.3)

По условию задачи , прямая . Подставим координаты точки  в уравнение (3.2): . Так как прямая  параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой  равен , следовательно, уравнение прямой  имеет вид .

Запишем уравнение прямой  в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: . Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой : .

Запишем уравнение прямой  в виде с угловым коэффициентом. Для этого выразим   из общего уравнения: .

2) Составим уравнение высоты , проведенной из вершины  на сторону  как уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой .

Условие перпендикулярности двух прямых  и  имеет вид

  (3.4)

Подставим координаты точки  в уравнение (3.2): . Так как высота  перпендикулярна прямой , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент прямой  равен , следовательно, угловой коэффициент высоты  равен  и уравнение прямой  имеет вид . Запишем уравнение высоты  в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .

3) Найдем длину высоты  как расстояние от точки  до прямой .

Расстояние  от точки  до прямой  представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой

  (3.5)

Так как  перпендикулярна , то длина  может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию , прямая   определяется уравнением . В силу формулы (3.5) длина высоты   равна =.

4) Найдем уравнение диагонали  как уравнение прямой, проходящей через точки и , где  - середина отрезка .

а) Если  и , то координаты точки  - середины отрезка , определяются формулами

   (3.6)

По условию , . В силу формул (3.6) имеем: , . Следовательно .

б) Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка  (середина отрезка ) является точкой пересечения диагоналей и диагональ  проходит через точку .

Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . В силу формулы (3.1) уравнение прямой  (диагонали ) имеет вид:  или . Запишем это уравнение в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .

5) Найдем тангенс угла между диагоналями  и .

а) Найдем уравнение диагонали  как уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . Следовательно, . Общее уравнение диагонали  имеет вид , уравнение с угловым коэффициентом – вид , угловой коэффициент  прямой  равен .

б) Уравнение диагонали  имеет вид , ее угловой коэффициент .

в) Тангенс угла  между прямыми  и  определяется формулой

 

Следовательно, . Отсюда .


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных