Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Задача №2.

Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач, входящих в это задание.

1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точки , ,  имеет вид:

  (3.7)

Тогда уравнение плоскости  в силу уравнения (3.7) имеет вид  или .

Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде . Для этого раскроем определитель по первой строке . После преобразований получим: .

2) Найти нормальный вектор плоскости .

Решение.

Нормальный вектор  - это вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость задана общим уравнением , то нормальный вектор имеет координаты .

Рис. 3

Для плоскости  нормальным является вектор =.

Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору = так же является нормальным вектором плоскости . Таким образом, при каждом ненулевом  вектор с координатами   будет являться нормальным вектором рассматриваемой плоскости.

3) Найти косинус угла между плоскостями  и .

Решение.

Угол  между двумя плоскостями  и  представляет собой угол между их нормальными векторами и определяется равенством

Для плоскости  координаты нормального вектора  определяются равенствами , , . Для плоскости  - равенствами , , . Следовательно, =.

 

 

 Составить уравнение плоскости , проходящей через точку  параллельно плоскости : .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид

  (3.8)

Подставим в уравнение (3.8) координаты точки : .

Условие параллельности плоскостей  и  имеет вид

  (3.9)

Так как плоскости  и  параллельны, то в качестве нормального вектора плоскости  можно взять нормальный вектор  плоскости , т.е. в формуле (3.9) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости  примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .

5) Найти расстояние от точки  до плоскости : .

Решение.

Расстояние  от точки  до плоскости  представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой

  (3.10)

Для плоскости  координаты нормального вектора  определяются равенствами , , . Следовательно, .

6) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки   и .

Решение.

Уравнения прямой, проходящей через точки  и  имеют вид

  (3.11)

Так как , , то в силу (3.11) получим уравнения   или .

7) Найти направляющий вектор прямой .

Решение.

Направляющий вектор  - это вектор, параллельный прямой.

Если прямая задана каноническими уравнениями , то направляющий вектор  имеет координаты .

Рис. 4

Для рассматриваемой прямой  направляющим вектором является вектор .

Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору  так же является направляющим вектором прямой . Таким образом, при каждом ненулевом  вектор с координатами  будет являться направляющим вектором рассматриваемой прямой.

8) Найти косинус угла между прямыми  и .

Решение.

Угол  между двумя прямыми  и  представляет собой угол между их направляющими векторами и определяется равенством

Для прямой  координаты направляющего вектора  определяются равенствами , , . Для прямой  - равенствами , , . Значит, .


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных