Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  параллельно прямой : .

Решение.

Канонические уравнения прямой имеют вид . Здесь  - координаты точки, через которую проходит прямая.

В канонические уравнения прямой  подставим координаты точки . Получим: .

Условие параллельности прямых  и  имеет вид

  (3.12)

Так как прямые  и  параллельны, то в качестве направляющего вектора   прямой  можно взять направляющий вектор  прямой , т.е. в формуле (3.12) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой  примет вид .

10) Найти угол между прямой :  и плоскостью : .

Решение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол  между прямой и плоскостью равен , где  - угол между направляющим вектором  прямой и нормальным вектором  плоскости.

Рис. 5

Угол  между прямой   и плоскостью  определяется формулой

 

Для плоскости :  координаты нормального вектора  определяются равенствами , , . Для прямой :  координаты направляющего вектора  - равенствами , , . Синус угла между прямой и плоскостью равен =. Следовательно, .

 

 

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно прямой : .

Решение.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид .

Подставим в указанное уравнение координаты точки . Получим: .

Условие перпендикулярности плоскости  и прямой  имеет вид

  (3.13)

Так как искомая плоскость  перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора  плоскости можно взять направляющий вектор  прямой , т.е. в формуле (3.13) отношение   можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости  примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .

12) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно плоскости : .

Решение.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид .

Подставим в эти уравнения координаты точки . Получим:

Условие перпендикулярности прямой  и плоскости  имеет вид .

Так как прямая  перпендикулярна плоскости , то в качестве направляющего вектора  прямой  можно взять нормальный вектор  плоскости , т.е. в формуле (3.13) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой  примет вид: .

13) Найти координаты точки пересечения прямой :  и плоскости : .

Решение.

Координаты точки  пересечения прямой  и плоскости  представляют собой решение системы

 (3.14)

Запишем параметрические уравнения прямой :  и подставим выражения для  в уравнение плоскости : . Отсюда ; . Подставим найденное значение  в параметрические уравнения прямой : . Следовательно, .


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных