Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Задача №4.

Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Требуется:

найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток, равный , начиная от  до ;

построить полученные точки;

построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала);

составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат.

Решение.

Сначала построим таблицу значений  и :

0

2,00

1,92

1,71

1,38

1,00

0,62

0,29

0,08

0,00

0,08

0,29

0,62

1,00

1,38

1,71

1,92

Построим эти точки в полярной системе координат. Полярная система координат состоит из начала координат  (полюса) и полярной оси . Координаты точки  в полярной системе координат определяются расстоянием  от полюса (полярным радиусом) и углом  между направлением полярной оси и полярным радиусом (полярным углом). Для того, чтобы построить точку , необходимо построить луч, выходящий из точки  под углом  к полярной оси; отложить на этом луче отрезок длиной .

Рис. 15

Построим все точки, определенные в таблице и соединим их плавной линией

Рис. 16

Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами перехода от декартовой к полярной системе координат.

Если полюс совпадает с началом координат прямоугольной декартовой системы координат, полярная ось – с осью абсцисс, то между прямоугольными декартовыми координатами  и полярными координатами  существует следующая связь:

,  

Откуда

 

Рис. 17

Итак, в уравнении исходной кривой , . Поэтому уравнение  принимает вид . После преобразований получим уравнение .

Задача №5.

Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами

1)

2)

Решение.

Для того, чтобы решить неравенство  на плоскости, надо построить график линии . Кривая  разбивает плоскость на части, в каждой из которых выражение  сохраняет свой знак. Выбирая пробную точку в каждой из этих частей, найдем часть плоскости, являющуюся искомым решением неравенства.

1) Построим прямые  и , заштрихуем область, в которой . Затем построим параболу  и заштрихуем область, содержащую ось симметрии параболы (расположенную внутри параболы); построим прямую  и заштрихуем область, лежащую выше прямой. Пересечение всех заштрихованных областей и определит множество точек, представляющих решение рассматриваемой системы.

Рис. 18

2) Построим линию, определяемую уравнением . Эта линия представляет собой ту часть окружности  или , на которой . Далее построим прямую  (). Решением рассматриваемого двойного неравенства является часть плоскости, расположенная между нижней половиной окружности  с центром в точке  радиуса  прямой .

Рис. 19


проведение корпоративного юбилея.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных