Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Пример 2. Найдите множество значений функции .

 Решение: Область определения заданной функции есть всё множество действительных чисел. Для отыскания множества значений функции рассмотрим, при каких значениях у уравнение  имеет решение относительноÎR. Квадратное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен. Получаем , т.е. .

Ответ: .

Возможен другой подход к нахождению множества значений функции. Он основан на том факте, что если функция получена из некоторой элементарной функции умножением на число, сложением с числом, возведением в степень, извлечением корня, то множество значений заданной функции можно получить из множества значений элементарной функции с помощью свойств неравенств.

Таким образом, в примере 2, выделив полный квадрат, запишем данную функцию в виде . Множество значений функции  есть множество всех неотрицательных чисел, так как эта функция получена из функции, принимающей все возможные действительные значения, возведением в чётную степень. Переходим от верного неравенства   к неравенству , т.е. .

 Пример 3. Найдите множество значений функции .

 Решение: В указанном виде функция представляет собой комбинацию двух элементарных функций:  и . Однако данная функция легко приводится к одной элементарной функции:

,

где  определяется из равенств , .

Теперь можно использовать свойства неравенств:

 ,

 ,

 .

Ответ: .

 Иногда множество значений функции легко находится, если предварительно найти область определения функции. 

Пример 4. Найдите множество значений функции.

 Решение: Найдём сначала область определения функции:

 , значит . Так как , то в заданной функции  может принимать только значение  при , . Тогда множество значений функции состоит из одного числа .

 Ответ: .

При графическом задании функции множество значений – проекция графика на ось ординат.

Существуют и другие способы нахождения множества значений функции.

Заметим, что, находя множество значений функции, мы одновременно находим и её наибольшее и наименьшее значения, если они существуют. Так при графическом задании функции наибольшее и наименьшее значения функции есть соответственно наибольшее и наименьшее значения из множества проекций.

Число  называют наименьшим значением функции  на множестве , если:

в  существует такая точка , что ;

для всех  из   выполняется неравенство .

Число  называют наибольшим значением функции  на множестве , если:

в Х существует такая точка , что ;

2) для всех  из  выполняется неравенство .

В примере 2 функция имеет только наименьшее значение: унаим. = 3. В примере 3 ,.


фитнес браслет xiaomi mi band 1s
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных