Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность, монотонность элементарными средствами

 Пример 1. Исследуйте функцию на чётность/нечётность:

 а) .

 Решение: Функция определена на множестве , симметричном относительно нуля. Найдём:  для любого  из области определения. Следовательно, данная функция является чётной.

 Ответ: функция чётная.

 б) .

 Решение: Область определения данной функции находится из неравенства . Промежуток, заданный неравенством , несимметричен относительно нуля. Значит, данная функция не относится ни к чётным, ни к нечётным.

 Ответ: функция не относится ни к чётным, ни к нечётным.

 в) .

 Решение: Функция определена на множестве всех действительных чисел, а оно симметрично относительно нуля. Найдём:. Очевидно, что равенства  или  не могут выполняться для любого , т.е. существуют такие , что и . Поэтому данная функция не является чётной и не является нечётной.

 Ответ: функция не является чётной и не является нечётной.

Для определения чётности/нечётности функции можно использовать соответствующие свойства входящих в неё элементарных функций.

Пример 2. Исследуйте функцию на чётность/нечётность:.

 Решение: Функция определена на множестве , где , симметричном относительно нуля. Данная функция есть произведение двух элементарных функций  и , первая из которых является чётной, а вторая – нечётной. Поэтому , т.е. заданная функция является нечётной.

 Ответ: функция нечётная.

Легко убедиться в том, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Действительно, пусть  – произвольная точка графика функции, т.е.  – верное равенство. Если  является чётной функцией, то существует  и верно , а это означает, что точка - симметричная точке  относительно оси ординат, также принадлежит графику функции . Если  является нечётной функцией, то существует  и верно , а это означает, что точка  - симметричная точке  относительно начала координат, также принадлежит графику функции .

Функции, не являющиеся чётными или нечётными, называются функциями общего вида.

Определение: Функция  называется периодической, если существует такое число , что для любого  из области определения этой функции выполняется равенство .

Число  называется периодом функции .

В определении периодической функции неявно содержится условие, что если  принадлежит области определения функции, то и ,  также принадлежат области определения этой функции.

Докажем, что из выполнимости равенства  следует выполнимость равенства . Действительно, равенство  выполняется для любого , тогда возьмём в качестве  число , получим: .

Аналогично можно установить, что если  – период функции, то , , , …, , , , … - также периоды функции, т.е. периодическая функция имеет бесконечно много периодов. Обычно ставится задача об отыскании наименьшего положительного (главного) периода функции (если он существует).

Итак, устанавливая периодичность функции, следует проверять следующие условия:

1) Для любого  из области определения функции числа  и  также принадлежат области определения функции.

2) Для любого  из области определения функции выполняется равенство .


Xiaomi redmi 4 pro 3gb купить подробно.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных