Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры

Пример 3. Установите, является ли функция периодической:

а) .

Решение: Предположим, что  – период функции. Тогда, согласно определению, для любого  из области определения этой функции (множества всех действительных чисел) выполняется равенство . Далее можно рассуждать двумя способами.

Криволинейный интеграл II рода. Пусть во всех точках дуги AB плоской гладкой кривой L определена функция двух независимых переменных .

Способ 1. Решим полученное уравнение относительно Т:

 ,

 ,

 ,

Решим отдельно первое уравнение совокупности:

,

 ,

 

Из уравнения  получим:  тогда,  т.е.  – не число, а функция от . Из уравнения  находим: . Среди чисел , , наименьшим положительным является число . Проверим, не является ли оно периодом функции .

1) Очевидно, что для любого  числа  и  принадлежат области определения данной функции.

2) , так как элементарная функция является периодической с периодом 2p.

Поскольку все требования определения периодической функции выполняются, то функция   периодическая.

Способ 2. Поскольку равенство  должно выполняться для любого  из области определения функции, то оно выполняется и для . Если , то получим следующее уравнение относительно : . Решая его, находим:  Среди чисел  содержится число . Проверка показывает (см. способ 1), что число  - действительно период функции. Таким образом, функция  периодическая.

Ответ: функция периодическая.

В рассмотренном примере число  не является наименьшим положительным периодом функции . Как хорошо видно из способа 2 среди возможных периодов  наименьшим положительным является число . К такому же выводу мы бы пришли и в способе 1, если бы решили отдельно уравнение . Докажем, что  - период функции .

1) Очевидно, что для любого  числа  и  принадлежат области определения данной функции.

2) , так как .

б) .

Решение: Если предположить, что у данной функции существует период , то для любого , , должно выполняться равенство . После упрощений получим: , или. Очевидно, что число вида , , периодом заданной функции не является, поэтому . Тогда последнее уравнение равносильно уравнению . В левой части его стоит число, в правой – функция от  и , т.е.  можно найти только как функцию от . А это значит, что не существует такого фиксированного числа , для которого равенство  выполняется при любом . Следовательно, функция  не является периодической.

Ответ: функция не является периодической.

в) .

Решение: Область определения данной функции задаётся неравенством . При . Поэтому, учитывая периодичность функции , можно утверждать, что для любого   и верно равенство . Но число  не может являться периодом данной функции, так как, например, при  число , значит, не принадлежит области определения функции. Вообще, для любого числа  обязательно найдётся число , такое, что , либо  не принадлежит области определения функции. В качестве такого  можно взять, например, . Таким образом, функция   не является периодической.

Ответ: функция не является периодической.

Приведённые примеры показывают, что все требования определения периодической функции существенны.

Таким образом, при исследовании функции на периодичность можно действовать по следующему плану:

Предположить, что число  – период функции, и записать равенство, которое должно выполняться для любого  из области определения: .

Решить полученное уравнение относительно . При этом возможны два способа:

а) Решать уравнение для произвольного значения . Если уравнение будет иметь только корни, зависящие от  ( – функция от ), или единственный корень , то в этом случае делается вывод, что функция не является периодической. Если уравнение имеет корни, не зависящие от  и отличные от нуля, то возможные значения периода следует искать среди этих корней.

б) Решать уравнение для конкретного значения  (например, ). Если уравнение имеет корни, то среди них нужно искать возможные значения периода. В противном случае функция не имеет периода.

Из найденных корней уравнения выбрать наименьшее положительное число и проверить, по определению, не является ли оно периодом функции. Если является, то сделать вывод. Если нет, то проверять на период следующий по величине корень и т.д. до тех пор, пока не найдётся число, являющееся периодом функции.

Сделать вывод.

Заметим, что способ а) удобнее применять в тех случаях, когда требуется доказать, что функция не является периодической.

Возможны и другие способы установления периодичности функции.


Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных