Решение типового варианта контрольной работы Исследуйте функцию на чётность/нечётность Исследуйте функцию на чётность/нечётность Постройте график функции Вычислить площадь фигуры Магазин для кондитеров дом кондитера интернет Магазин.

Пример 4. Найдите наименьший положительный период функции

.

Решение: Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, поэтому для любого  числа  и  также принадлежат области определения функции, где   – период функции (если он существует).

Учитывая пример 3 (а), можно утверждать, что функция  - периодическая с наименьшим положительным периодом . Аналогично доказывается, что функция  является периодической с наименьшим положительным периодом . Тогда легко убедиться в том, что функция  имеет период . Но является ли  наименьшим положительным периодом данной функции? Проверим это, выполнив преобразования:

Функция  периодическая с наименьшим положительным периодом . Так как для любого  , то наименьший положительный период данной функции равен .

Ответ: .

Определение: Функция  называется возрастающей/убывающей на некотором промежутке (подмножестве области определения этой функции), если для любых  и  из этого промежутка из неравенства  следует неравенство /.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

 При исследовании функции на монотонность сравнить значения   и  можно разными способами. Например, можно использовать свойства неравенств, или составить разность  и определить её знак, или при условии  составить частное   и сравнить его с единицей, или использовать свойство монотонности элементарных функций и т.д.

Пример 5. Исследуйте функцию на монотонность: .

 Решение: Функция определена для всех действительных чисел. Возьмём произвольные числа  и . Пусть . Рассмотрим разность . Второй множитель при любых действительных значениях  и  положителен. Поэтому, учитывая, что , получаем . Таким образом, , а это означает, что данная функция возрастает на всей области определения.

Указанный ответ также можно было получить, учитывая тот факт, что данная функция является суммой двух элементарных функций, которые возрастают на всём множестве действительных чисел.

 Ответ: функция возрастает на всём множестве действительных чисел.

 Если в задаче требуется найти промежутки монотонности функции, то сначала рассматриваются любые значения  из области определения функции, а при сравнении  и  обнаруживается, что результат будет зависеть от того, из какого промежутка области определения берутся  и . Таким образом и определяются промежутки исследования функции на монотонность.

Пример 6. Исследуйте функцию на возрастание и убывание на основе определения:  .

 Решение: Область определения функции – любое действительное число. Пусть  и  - любые два значения аргумента и . Учитывая тот факт, что данная функция приводится к виду , воспользуемся свойствами неравенств. Вычтем из обеих частей неравенства * по 2. Получаем . Далее, для возведения обеих частей неравенства в квадрат, следует рассмотреть два отдельных случая:

если , то если , то

 ,

тогда . тогда .

 Прибавим к обеим частям по 1:

 ,

 т.е. . т.е. .

Значит функция Значит функция

убывает. возрастает.

Ответ: на промежутке  функция убывает, а на промежутке  возрастает.

 Пример 7. Укажите промежутки монотонного изменения функции

 .

 Решение: Монотонность данной функции определяется монотонностью двух функций:  и . Первая из этих функций возрастает на всём множестве действительных чисел, а вторая приводится к виду и, следовательно, при  убывает, а при возрастает. Поэтому получим: 


 а) если , то , а) если , то ,

 тогда , т.е. . тогда , т.е. .

 Значит функция Значит функция

 убывает. возрастает.

 Ответ: на промежутке  функция убывает, а на промежутке  возрастает.


Смотрите на сайте официальная премьера xiaomi mi max 2.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных