Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    ЗАДАЧА 10

    Постановка задачи: Вычислить предел функции, где  и  бесконечно малые функции при , содержащие линейное выражение под знаком радикала.

    План решения:

    1. Для функций стоящих в числителе и знаменателе определить дополнительные множители  и , такие что  и  будет рациональными функциями.

    если , то

     если  то

    2. Домножить числитель и знаменатель дроби стоящей под знаком предела на произведение , получим

    .

    Затем преобразовать рациональные выражения и , при условии что , можно сократить сомножители .

    Далее используя правила вычисления находим значение предела.

    Замечание: Одна из функции может полностью стоять под знаком радикала, тогда ее нужно разложить на множители используя формулы сокращенного умножения.

    Пример: Вычислить предел функции  

    Решение.

    1.

    В числителе и знаменателе стоят функции бесконечно малые при.

    Для функции стоящей в числителе дополнительный множитель имеет вид:

      , т. к.

    получим рациональное выражение. Выражение стоящее в знаменателе раскладываем на множители

    2.

    Функция, стоящая в знаменателе не является бесконечно малой при .

    Ответ:

    ЗАДАЧА 11

    Постановка задачи: Вычислить предел , где  и  бесконечно малые функции при

    План решения:

    Бесконечно малые функции, стоящие в числителе и знаменателе, можно заменить на им эквивалентные.

    Если  , , ,  - бесконечно малые функции при такие, что ~ при  и ~при  и существует предел , то существует , причем

    Таблица эквивалентности функций:

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.  

    7.  

    8.  

    Пример: Вычислить предел 

    Решение. Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при , так как

    , .

    Бесконечно малые заменяем на эквивалентные

    Таким образом

    Ответ:

    ЗАДАЧА 12, 13

    Постанова задачи: Вычислить предел , где  и  бесконечно малые функции при

    План решения:

    1. Нужно заменить   и  на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблицей эквивалентных бесконечно малых функций можно пользоваться если . Поэтому сначала сделаем замену переменной

     и будем искать предел при

    2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

    Пример:

    а) Вычислить предел

    Решение:

    1. . Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при  . Сделаем замену переменной.

    2. Используя тригонометрические формулы и заменяя в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными, получаем 

    б) Вычислить предел

    Решение:

    1.

    Под знаком предела имеем отношение двух бесконечно малых функций при. Сделаем замену переменной.

    2. Используя формулы получаем.

    Заменяя бесконечно малые функции эквивалентными

    Имеем

    Выражение под знаком предела является отношением бесконечно малых функций при . Используем замену эквивалентными величинами.

    , и еще , имеем

    Ответ:

    Контрольная работы по математике Пределы