Контрольная работы по математике Пределы

ЗАДАЧА 10

Постановка задачи: Вычислить предел функции, где  и  бесконечно малые функции при , содержащие линейное выражение под знаком радикала.

План решения:

1. Для функций стоящих в числителе и знаменателе определить дополнительные множители  и , такие что  и  будет рациональными функциями.

если , то

 если  то

2. Домножить числитель и знаменатель дроби стоящей под знаком предела на произведение , получим

.

Затем преобразовать рациональные выражения и , при условии что , можно сократить сомножители .

Далее используя правила вычисления находим значение предела.

Замечание: Одна из функции может полностью стоять под знаком радикала, тогда ее нужно разложить на множители используя формулы сокращенного умножения.

Пример: Вычислить предел функции  

Решение.

1.

В числителе и знаменателе стоят функции бесконечно малые при.

Для функции стоящей в числителе дополнительный множитель имеет вид:

  , т. к.

получим рациональное выражение. Выражение стоящее в знаменателе раскладываем на множители

2.

Функция, стоящая в знаменателе не является бесконечно малой при .

Ответ:

ЗАДАЧА 11

Постановка задачи: Вычислить предел , где  и  бесконечно малые функции при

План решения:

Бесконечно малые функции, стоящие в числителе и знаменателе, можно заменить на им эквивалентные.

Если  , , ,  - бесконечно малые функции при такие, что ~ при  и ~при  и существует предел , то существует , причем

Таблица эквивалентности функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.  

7.  

8.  

Пример: Вычислить предел 

Решение. Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при , так как

, .

Бесконечно малые заменяем на эквивалентные

Таким образом

Ответ:

ЗАДАЧА 12, 13

Постанова задачи: Вычислить предел , где  и  бесконечно малые функции при

План решения:

1. Нужно заменить   и  на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблицей эквивалентных бесконечно малых функций можно пользоваться если . Поэтому сначала сделаем замену переменной

 и будем искать предел при

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Пример:

а) Вычислить предел

Решение:

1. . Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при  . Сделаем замену переменной.

2. Используя тригонометрические формулы и заменяя в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными, получаем 

б) Вычислить предел

Решение:

1.

Под знаком предела имеем отношение двух бесконечно малых функций при. Сделаем замену переменной.

2. Используя формулы получаем.

Заменяя бесконечно малые функции эквивалентными

Имеем

Выражение под знаком предела является отношением бесконечно малых функций при . Используем замену эквивалентными величинами.

, и еще , имеем

Ответ:

Контрольная работы по математике Пределы