Контрольная работы по математике Пределы

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.

Функция   называется бесконечно малой функцией (сокращенно б.м.ф.) при х стремящемся к х0, если для любого  существует число , такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е.

Например, функции  при ,  при является бесконечно малыми.

Теорема 3.3 ( о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и б.м.ф.). Если функция   при  имеет конечный предел, равный А, тоее можно представить в виде суммы:

  где  - б.м.ф. при

Доказательство:

Пусть  Положим   и докажем, что  - б.м.ф. при .

Значит,  где  - б.м.ф. при .

Наоборот, если  и  - б.м.ф. при , А – постоянная, докажем, что функция  при  имеет предел, равный А.

Свойство бесконечно малых функций:

Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при  есть бесконечно малая функция при

Произведение бесконечно малой при  функции  но ограниченную функцию  есть бесконечно малая функция при .

Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция при .

Если функция  - б.м.ф. при , а функция  имеет отличный от нуля предел при , то частное  есть бесконечно малая функция при

Наряду с понятием бесконечно малых функций вводится понятие бесконечно большой функции.

Пусть функция у = (x) определена в некоторой окрестности точ­ки х0, кроме, быть может самой точки х0. Функция  называется бесконечно большой функцией (сокращенно б.б.ф.) при х, стремящемся к х0, если для любого  > 0 существует число  > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство   . В этом случае пишут  говорят, что при  функция имеет бесконечный предел.

Если функция  стремится к бесконечности  и принима­ет лишь положительные (отрицательные) значения в некоторой окрестно­сти точки х0, кроме, быть может, самой точки х0,  to пишут

Теорема 3.4. Если  - бесконечно большая при  функция, то  - бесконечно малая при  функция. Наоборот, если  - б.м.ф. при  и  при , то функция  - б.б.ф. при

Доказательство. Так как , то для любого  > 0 найдется

такая   - окрестность точки х0, что для всех точек х из этой окрестности, кроме, быть может, х=х0 выполняется неравенство

и, следовательно, неравенство

Это означает, что  т.е. функция  - б.м.ф. при

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Все приведенные утверждения справедливы и при . Например,  - б.б.ф. при  функция , а  - б.м.ф. при  функция.

Пример 3.3. Найти пределы функций.

а)  б)

Решение:

а) так как , то

б) , так как , поскольку

Ответ: а)

б)

3.4. Математические неопределенности. На бесконечно малые и беско­нечно большие функции свойства конечных пределов, связанные с ариф­метическими действиями над пределами (теорема 3.3),непосредственно не переносятся.

Так, если а так же, если , то вычисление предела  приводит к отношениям вида  и . Если при помощи различных преобразований удается вычислить пределы указанного вида или доказать, что они существуют, то говорят, что неопределенность раскрыта.

Пример 3.4. Найти пределы функций:

а)   б)

Решение:

а) Так как  и  то имеет место неопределенность вида

Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на множитель, стремящийся к нулю.

б) Здесь также имеем неопределенность вида , так как  и

Числитель содержит иррациональное выражение Избавимся от иррациональности, умножая числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю.

Иначе можно решить этот пример путем замены переменной:

Ответ: а)

б)

Пример 3.5. Найти пределы рациональности функций:

а)

б)

в)

Решение:

Так как числители и знаменатели данных функций есть бесконечно большие функции, то имеет место неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, надо в числителе и знаменателе вынести самую высокую входящую в них степень х за скобку, а затем перейти к пределу, принимая во внимание, что  где с – константа,

а)

б)

в)

Ответ:

а)

б)

в)

Из примера3.5 следует правило нахождения предела рациональной функции при  

если

 

Согласно этому правилу, для примера 3.5 получаем:

а) n=3, m=4 и так как n<m, то ;

б) n=2,m=2 и так как n=m, то

в) n=3, m=2 и так как n<m, то

Если   и  то при вычислении предела   возникает выражение вида , тогда говорят, что имеем неопределенность вида  Эта неопределенность приводится к неопределенности вида  или   путем преобразования разности функции к виду дроби.

Пример 3.6. Найти пределы функции:

а)  б)

  Решение:

а) Так как  и , то имеем неопределенность вида

Умножив и разделив данную функцию на выражение , получим

б) В данном случае при  так же имеем неопределенность вида . Приводим дроби к общему знаменателю и полученную в результате дробь сокращаем на множитель х-2:

Ответ: а)

 б)

Кроме рассмотренных выше, неопределенностями так же считаются выражения вида:   , , .

Контрольная работы по математике Пределы