Контрольная работы по математике Пределы

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные  преобразования матриц
  • Система  n линейных уравнений с n неизвестными
  • Система  линейных уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные  значения и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.

    Функция   называется бесконечно малой функцией (сокращенно б.м.ф.) при х стремящемся к х0, если для любого  существует число , такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е.

    Например, функции  при ,  при является бесконечно малыми.

    Теорема 3.3 ( о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и б.м.ф.). Если функция   при  имеет конечный предел, равный А, тоее можно представить в виде суммы:

      где  - б.м.ф. при

    Доказательство:

    Пусть  Положим   и докажем, что  - б.м.ф. при .

    Значит,  где  - б.м.ф. при .

    Наоборот, если  и  - б.м.ф. при , А – постоянная, докажем, что функция  при  имеет предел, равный А.

    Свойство бесконечно малых функций:

    Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при  есть бесконечно малая функция при

    Произведение бесконечно малой при  функции  но ограниченную функцию  есть бесконечно малая функция при .

    Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция при .

    Если функция  - б.м.ф. при , а функция  имеет отличный от нуля предел при , то частное  есть бесконечно малая функция при

    Наряду с понятием бесконечно малых функций вводится понятие бесконечно большой функции.

    Пусть функция у = (x) определена в некоторой окрестности точ­ки х0, кроме, быть может самой точки х0. Функция  называется бесконечно большой функцией (сокращенно б.б.ф.) при х, стремящемся к х0, если для любого  > 0 существует число  > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство   . В этом случае пишут  говорят, что при  функция имеет бесконечный предел.

    Если функция  стремится к бесконечности  и принима­ет лишь положительные (отрицательные) значения в некоторой окрестно­сти точки х0, кроме, быть может, самой точки х0,  to пишут

    Теорема 3.4. Если  - бесконечно большая при  функция, то  - бесконечно малая при  функция. Наоборот, если  - б.м.ф. при  и  при , то функция  - б.б.ф. при

    Доказательство. Так как , то для любого  > 0 найдется

    такая   - окрестность точки х0, что для всех точек х из этой окрестности, кроме, быть может, х=х0 выполняется неравенство

    и, следовательно, неравенство

    Это означает, что  т.е. функция  - б.м.ф. при

    Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

    Все приведенные утверждения справедливы и при . Например,  - б.б.ф. при  функция , а  - б.м.ф. при  функция.

    Пример 3.3. Найти пределы функций.

    а)  б)

    Решение:

    а) так как , то

    б) , так как , поскольку

    Ответ: а)

    б)

    3.4. Математические неопределенности. На бесконечно малые и беско­нечно большие функции свойства конечных пределов, связанные с ариф­метическими действиями над пределами (теорема 3.3),непосредственно не переносятся.

    Так, если а так же, если , то вычисление предела  приводит к отношениям вида  и . Если при помощи различных преобразований удается вычислить пределы указанного вида или доказать, что они существуют, то говорят, что неопределенность раскрыта.

    Пример 3.4. Найти пределы функций:

    а)   б)

    Решение:

    а) Так как  и  то имеет место неопределенность вида

    Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на множитель, стремящийся к нулю.

    б) Здесь также имеем неопределенность вида , так как  и

    Числитель содержит иррациональное выражение Избавимся от иррациональности, умножая числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю.

    Иначе можно решить этот пример путем замены переменной:

    Ответ: а)

    б)

    Пример 3.5. Найти пределы рациональности функций:

    а)

    б)

    в)

    Решение:

    Так как числители и знаменатели данных функций есть бесконечно большие функции, то имеет место неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, надо в числителе и знаменателе вынести самую высокую входящую в них степень х за скобку, а затем перейти к пределу, принимая во внимание, что  где с – константа,

    а)

    б)

    в)

    Ответ:

    а)

    б)

    в)

    Из примера3.5 следует правило нахождения предела рациональной функции при  

    если

     

    Согласно этому правилу, для примера 3.5 получаем:

    а) n=3, m=4 и так как n<m, то ;

    б) n=2,m=2 и так как n=m, то

    в) n=3, m=2 и так как n<m, то

    Если   и  то при вычислении предела   возникает выражение вида , тогда говорят, что имеем неопределенность вида  Эта неопределенность приводится к неопределенности вида  или   путем преобразования разности функции к виду дроби.

    Пример 3.6. Найти пределы функции:

    а)  б)

      Решение:

    а) Так как  и , то имеем неопределенность вида

    Умножив и разделив данную функцию на выражение , получим

    б) В данном случае при  так же имеем неопределенность вида . Приводим дроби к общему знаменателю и полученную в результате дробь сокращаем на множитель х-2:

    Ответ: а)

     б)

    Кроме рассмотренных выше, неопределенностями так же считаются выражения вида:   , , .

    Контрольная работы по математике Пределы